Edo-fatores Integrantes
Pesquisas Acadêmicas: Edo-fatores Integrantes. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: • 29/10/2014 • 505 Palavras (3 Páginas) • 296 Visualizações
•Fatores integrantes;
•1º caso;
•2º caso;
•Atividade avaliativa.
Uma equação diferencial na forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy=0
não é chamada de exata se:
x
M
y
M
FATORES INTEGRANTES
Algumas vezes podemos transformar
uma equação diferencial não exata em
exata através da sua multiplicação por
uma função , denominada de fator
integrante.
(x, y)
1º CASO: A EDO admite um fator
integrante unicamente em funções
Logo:
x( (x)). ( )
1
f x
x
N
y
M
N
Podemos considerar, que:
dx
x
N
y
M
N
x e
1
( )
Achar a solução geral da equação
diferencial:
(3 ) 2 0
2 2
x y dx xydy 2
1º passo) Verificar se é exata
(3 ) 2 0
2 2
x y dx xydy
y
y
M
M x y x y
2
( , ) 3
2 2
y
x
M
N x y xy
2
( , ) 2
x
M
y
M
Não é exata
2º passo) Procurar um fator integrante
xy x
y
y y
x xy
N
y
M
N
2
2
4
( 2 2 )
2
1 1
Como o resultado é uma função de x, existe
um fator integrante , que é obtido
através :
(x)
2
ln 1
( )
2
x
x e
x
x
d x
x
d x
x
N
y
M
N
x e e e
2ln .
2
1
( )
3º passo) Multiplicando a ED por
Obtemos a equação diferencial exata.
. 0
2
3 .
. 0
2
.
3
(2 ). 0
1
3 .
1
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
dy
x
y
dx
x
y
dy
x
xy dx
x
y
x
x
xy dy
x
x y dx
x
(x)
EDO exata
M x, y N x, y
4º passo) Solução de uma EDO exata:
x
y
x
x
xy dx x
x
y
F x y
2
2
2
2
2
( , ) 3 3 3
F M x, y dx + N x, y - dy C
y
x
y
y
F 2
Integrando
separadamente
x
y
x
y x
y
y x y x
dx y x dx
x
y
2 2
2
2 2 1 2 1
2 2
2
2
.( 1)
1
1
.
2 1 1
3 0
3
2 2
3
2
2
2
x y Cx
C
x
y
x
dy C
x
y
x
y
x
y
x
F M x, y dx + N x, y - dy C
y3
2º CASO: A EDO admite um fator
integrante unicamente em funções
Logo:
y( (y)). ( )
1
g y
y
M
x
N
M
Podemos considerar, que:
dy
y
M
x
N
M
y e
1
( )
Achar a solução geral da equação
diferencial:
( 1) 0
2
y dx xy dy
1º passo) Verificar se é exata
y
y
M
M x y y
2
( , )
2
y
x
M
N x y xy
( , ) 1
x
M
y
M
Não é exata
( 1) 0
2
y dx xy dy
2º passo) Procurar um fator integrante
1
(2 )
( 1)
1 1
xy
y
y y
x xy
N
y
M
N
Observe que a relação acima é função de
x e y e, por isso, não existe . Vamos
Verificar se a EDO admite fator integrante
Função apenas de . Para isso,
vamos determinar a relação:
(x)
y( (x))
y
y y
y y
M
x
N
M
1
2
1 1
2
y
d y
y
d y
y
M
x
N
M
y e e e
ln
.
1 1
( )
y
y
1
( )
3º passo) Multiplicando a ED por
Obtemos a equação diferencial exata.
. 0
1
.
. 0
1
.
( 1). 0
1
.
1
2
2
dy
y
y dx x
dy
y y
xy dx
y
y
xy dy
y
y dx
y
(y)
M x, y N x, y
EDO exata 4
4º passo) Solução de uma EDO exata:
F(x, y) y dx xy
F M x, y dx + N x, y - dy C
y
x
y
F
xy y C
...