A Filosofia Para Engenharia

RESUMO FILOSIFA PROVA 02:

DERIVAÇÕES:

Os cinco operadores de formação de frases são:

[pic 1]

O valor de verdade das frases com qualquer um destes operadores é inteiramente determinado pelo valor de verdade das frases constituintes:

[pic 2]

Operadores principais:

Quando uma frase tem mais de um operador verofuncional, só um é o principal:

1. p ⋀ (q ⋁ r)

2. (p ⋀ q) ⋁ r

O operador principal das frases da forma 1 é a conjunção, mas é a disjunção o operador principal das frases da forma 2.

[pic 3]

Primeiro, “calcula-se” o que está dentro do parêntese, ou seja, a disjunção. Depois vê-se a conjunção.

Exemplo: “Se não houver amor, a vida será absurda” é uma condicional cuja antecedente está negada: ¬p → q. Em contraste, “Não é verdadeiro que se houver amor, a vida será absurda” é a negação de uma condicional: ¬(p → q).[pic 4]

Dez regras simples:

Eliminação da conjunção (E⋀)

A ⋀ B

∴ A (ou B)

Introdução da conjunção (I⋀)

A

B

∴ A ⋀ B

Introdução da disjunção (I⋁)

A

∴ A ⋁ B

Eliminação da bicondicional (E⇄)

A ⇄ B

∴ A → B (ou B → A)

Introdução da bicondicional (I⇄)

A → B

B → A

∴ A ⇄ B

Modus ponens (MP)

A → B

A

∴ B

Modus tollens (MT)

A → B

¬B

∴ ¬A

Dilema (DIL)

A ⋁ B

A → C

B → C

∴ C

Silogismo disjuntivo (SD)

A ⋁ B

¬A

∴ B

Silogismo hipotético (SH)

A → B

B → C

∴ A → C

Regras de substituição:

Negação dupla (ND)

A 𠪪A

Leis de De Morgan (DM)

¬(A ⋁ B) ≡ ¬A ⋀ ¬B

¬(A ⋀ B) ≡ ¬A ⋁ ¬B

Negação da condicional (Neg. →)

¬(A → B) ≡ A ⋀ ¬B

Negação da bicondicional (Neg. ⇄)

¬(A ⇄ B) ≡ (A ⋀ ¬B) ⋁ (¬A ⋀ B)

Definição de condicional (Def. →)

A → B ≡ ¬A ⋁ B

Definição de disjunção (Def. ⋁)

A ⋁ B ≡ ¬A → B

Contraposição (CP)

A → B ≡ ¬B → ¬A

Comutatividade (Com.)

A ⋁ B ≡ B ⋁ A

A ⋀ B ≡ B ⋀ A

A ⇄ B ≡ B ⇄ A

Idempotência

A ⋀ A ≡ A

A ⋁ A ≡ A

Reductio: A reductio ad absurdum (redução ao absurdo) é uma das três regras em que se usa suposições: premissas temporárias usadas para fazer uma subderivação.

[pic 5]

No passo 3 foi introduzida a suposição com vista à reductio; é comum usar a contraditória da conclusão, como neste caso, mas isso não é obrigatório. A ideia é apenas usar uma suposição qualquer, que irá gerar uma contradição da forma A ⋀ ¬A. Duas aplicações do modus ponens permitem concluir q no passo 4, e ¬q no 5.

Logo Reductio pode ser representado como:

Reductio

B ⊢ A ⋀ ¬A

∴ ¬B

Introdução da condicional

[pic 6]

No passo 4 foi introduzida uma suposição que é a antecedente da condicional a que se deseja chegar. O objetivo agora é derivar a sua consequente. Quando se consegue esse resultado parcial, basta formar no passo seguinte uma condicional cuja antecedente é a suposição introduzida e cuja consequente é o resultado parcial a que se chegou. Eis a sua forma:

Introdução da condicional (I→)

A ⊢ B

∴ A → B

Eliminação da Disjunção: A eliminação da disjunção (E⋁) é a última das três regras que envolvem suposições.

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