ATPS Equações Diferenciais 4º Semestre

ETAPA 1 - Equações Diferenciais. Aplicações e Modelagem.

Passo 1

Uma equação diferencial é uma lei, ou uma prescrição, que relaciona determinada função com suas derivadas. Em outras palavras, uma equaçãodiferencial estabelece a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Resolver uma equação diferencial é encontrar a função que satisfaz a equação e,frequentemente, determinado conjunto de condições iniciais. A partir do

conhecimento destas condições, a solução da equação diferencial fornece ovalor da função em qualquer valor posterior da variável independente. Emparticular,na descrição de um sistema em termos de uma função da variável independente tempo, a resolução da equação diferencial correspondentepermite prever o comportamento futuro do sistema.

Na Física, a posição de um ponto móvel ao longo de uma reta em um dado instante de tempo é dada por uma função horária . A variação instantânea da posição do móvel é chamada velocidade (instantânea) e, por sua vez, a variação instantânea da velocidade é chamada aceleração.

Por exemplo, se é a função horária de um móvel, então sua velocidade é , e sua aceleração é .

Se uma força variável age sobre o móvel em uma direção paralela à reta onde ele se move, então a Segunda Lei de Newton nos diz que onde é a massa do ponto movel. Substituindo a aceleração, temos .

Quando a força é conhecida, mas a função horária não, então a equação

pede por uma função que a torne verdadeira. Nessa equação, a incógnita é uma função , e seus termos envolvem também as derivadas de até a segunda ordem. Por isso, a chamamos de equação diferencial de segunda ordem.

Passo 2

A derivada e uma função real de uma variável real pode ser definida como;

Em quase todos os ramos da atividade humana aparecem problemas e fenômenos que

envolvem variação, em biologia estuda-se a taxa de crescimento de uma população de

bactérias, em economia estuda-se a evolução do custo marginal, em medicina estuda-se a taxa

de crescimento de um tumor, em mecânica estuda-se os fluidos em movimento, em

eletricidade descreve-se a variação da carga elétrica e da corrente em um circuito elétrico. Na

física a derivada está presente na própria de definição de velocidade e aceleração onde a

velocidade é definida como a derivada do espaço em função do tempo e a aceleração é a

derivada da velocidade em função do tempo. Emvárias áreas, diversos problemas de

máximos e mínimos são resolvidos utilizando-se a derivada.

As Integrais podem ser divididas em dois grupos , as Integrais Indefinidas , ou seja, obtem –se um grupo de respostas (uma família) , já as Integrais Definidas , como o próprio nome diz , tem-se apenas uma resposta. Para resolução dessas integrais existem algumas técnicas, as mais usuais são a da substituição, por partes e por frações parciais.

Passo 3

Resolvendo o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem:

.

Solução: Temos , e . Todas estas equações são da forma , por isso vamos resolver esta equação mais geral.

A equação pergunta quais é a função cuja derivada é proporcional à própria função. A teoria das equações diferenciais nos diz que a solução geral dessa equação é da forma , onde é uma constante arbitrária.

Portanto, temos as soluções , e , onde são constantes arbitrárias. Se for desejado, podemos expressar essa solução geral na forma vetorial

.

Passo 4

Os circuitos elétricos são basicamente formados por componentes lineares passivos: resistores de resistência R (ohm), indutores de indutância L (henry), capacitores de capacitância C (farad), e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada v(t). A figura 01 mostra um exemplo de circuito RLC.

Entre os elementos de um circuito RLC, existem algumas relações importantes, entre tensão e corrente e entre tensão e carga, que podem ser observadas na tabela abaixo:

ETAPA