2º Exercício Computacional Sinais e Sistemas - Amostragem e Critério de Nyquist

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO – UFOP[pic 1]

Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas – ICEA

Curso: Engenharia Elétrica

Disciplina: CEA562 – Sinais e Sistemas

2º Exercício Computacional

Gerson Pereira de Souza

Vanessa Cecília da Silva

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INTRODUÇÃO

        De forma geral, o processamento de sinais de tempo discreto é mais flexivel e normalmente preferivel ao processamento de sinais de tempo contínuo. Sob tal pretexto podemos então utilizar a amostragem, que consiste em amostras deste sinal de tempo contínuo uniformemente espaçadas no tempo. Estes espaçamentos no tempo devem seguir um determinado critério para que sua reconstrução possa ser feita sem que ocorram perdas. Este critério é denominado “Teorema da amostragem”. A informação de um sinal de tempo contínuo é equivalente à de um sinal de tempo discreto, de modo que um sinal amostrado é uma sequência de impulsos, enquanto que o sinal de tempo contínuo é uma sequência de numeros.

        A DTFT permite a conversão de sinais discretos em função do tempo em sinais em função da frequencia, e deste modo constituem uma valiosa ferramenta na análise e compreensão de sinais e sistemas de tempo contínuo, visto que ele

OBJETIVOS

• Implementar, no Matlab, os conceitos e fundamentos da teoria da amostragem;
• Impulsionar a visão e análise em frequência de um sinal;
• Aplicar conceitos vistos, durante a aula teórica, de sinais discretos;

DESENVOLVIMENTO

O arquivo de audio foi gravado a partir do programa Audacity, e editado para obter uma amostra de 20 segundos.

Exercício 1 – Calcule a tranformada discreta de fourier (DFT) do sinal e plote seu valor absoluto no intervalo [0;2π[, colocando, sobre o eixo horizontal, os valores da frequencia em Hertz.

1. Para qual é a máxima frequencia do sinal;
2. Para quais frequências de amostragem, o critério de Nyquist é observado?

Para a realização desta etapa, o seguinte programa foi executado:

%le o arquivo de áudio

[y, Fs] = audioread('amostragem.wav');

yb=sum(y,2);                    %soma os dois canais: direito e esquerdo

f = 0:1/20:Fs/2-1/20;           %cria eixo até 22050Hz

 

%calcula fft e plota o grafico

ffy = abs(fft(yb));             %encontra o módulo da FFT

figure

plot(f, ffy(1:882000/2),'blue');    %plota metade dos valores

title('Espectro da Voz');

xlabel('Frequência (Hz)');

ylabel('Amplitude');

        Ao aplicar a FFT, este sinal aparece aparece espelhado nas frequencias 22050 a 44100. Isso ocorre devido a propríedade da simetria de conjugado da Transformada de Fourier de um sinal real. Ou seja,

[pic 2]

Este foi limitado às entre as frequencias 0 e 22050Hz. O gráfico obtido foi está representado na figura 1 abaixo:

[pic 3]

Figura 1 - Espectro de voz

        A frequência da voz varia com a fonética, podendo variar entre 50 e 3400 Hz. Em relação à voz amostrada, foi encontrada frequencia máxima de 7282Hz. Apesar do valor encontrado, é possivel ver que a maior amplitude se concentram entre as frequencias 150 a 800Hz, conforme figura 2:

[pic 4]

Figura 2 – Espectro da voz entre freqüencia  0 e 900 Hz

        O teorema de Nyquist estabelece que um sinal pode ser amostrado em um sinal discreto e novamente convertido em um sinal de tempo contínuo desde que a frequência de sua amostragem, , seja pelo menos duas vezes maior que a largura de faixa  de um sinal. Ou seja:[pic 5][pic 6]

[pic 7]

Uma vez que  , teremos que:[pic 8]

[pic 9]

Desde modo, para o sinal analisado, a menor frequencia de amostragem é:

[pic 10]

[pic 11]

        O sinal supracitado é amostrado à 44100 Hz, valor superior à frequencia máxima do mesmo. Logo, temos a observância do Teorema de Nyquist.

Exercício 2 – Re-amostre usando a expressão: .[pic 12]

1. Qual a frequência de amostragem empregada?
2. Ocorre aliasing? Justifique.
3. Plote o módulo da DFT deste sinal amostrado, seguindo as mesmas diretrizes do item (a) e compare com o grafico do sinal original. Houve perda de conteúdo espectral?

Para a execução desta etapa, foi utilizado o seguinte código:

%Lê arquivo de audio

[y, Fs] = audioread('amostragem.wav');

yb=sum(y,2);                    %soma os dois canais: direito e esquerdo

f = 0:1/20:Fs/10-1/20;             %cria eixo até 4410Hz

 

%Sinal reamostrado

fy1 = downsample(yb,10);

fy2 = abs(fft(fy1));            %encontra o módulo da FFT

figure

plot(f, fy2(1:88200));

title('Espectro da Voz');

xlabel('Frequência (Hz)');

ylabel('Amplitude');

        A frequencia de amostragem deste sinal foi 10 vezes menor que a amostragem do exercicio 1. Sabendo que a taxa de amostragem do sinal original é 44100 Hz, teremos:

[pic 13]

        Porem, como calculado anteriormente, para reconstrução sem perda deste sinal, é necessário que:

 [pic 14][pic 15]

        Logo, esta amostragem não obedece ao teorema de Nyquist. Como o sinal estará subamostrado, ao reconstrui-lo em tempo contínuo através da interpolação, haverá perda de informações. Tal fato é facilmente percebido ao executar o audio reamostrado, através do código: