Aplicações Práticas das EDO

Aplicações práticas das EDO’s na Engenharia Mecânica

1 - Flexão de Vigas

1.1 - Deflexão de Vigas

        Vigas são elementos estruturais que oferecem resistência à flexão em virtude das cargas aplicadas. Quando submetida à ação de uma carga, a estrutura se deforma devido à sua elasticidade

        A EDO de segunda ordem  [pic 1] juntamente com as condições de contorno, determinam a expressão da Curva Elástica.

Onde:        - M é o momento fletor da secção transversal;

        - EI é o módulo de rigidez a flexão;

        - A derivada de segunda ordem é obtida do raio da curvatura da curva, dado por [pic 2]

1.2 - Flambagem de Vigas

        O comportamento da estrutura é dado através da EDO de segunda ordem, obtida com o cálculo do momento fletor para a carga aplicada:

[pic 3][pic 4][pic 5]

Onde:        - P é a carga aplicada longitudinalmente;

        - EI é o módulo de rigidez do material;

[pic 6]                                               

        - É a expressão da curva elástica, com A e B determinadas a partir das condições de contorno do problema.

2 - Vibrações de Vigas

2.1 - Vibração Longitudinal

        A equação para a vibração longitudinal de uma estrutura é obtida a partir do equilíbrio dinâmico de um elemento infinitesimal na direção x

[pic 7][pic 8]

[pic 9]

        A carga, por sua vez, é obtida a partir da Lei de Hooke, dada por

        A equação diferencial parcial de segunda ordem seguinte é originada a partir das análises anteriores, é válida para (0 < x < L, t > 0) e pode ser resolvida com o Método de Separação de Variáveis.[pic 10]

Onde:        - C2 = E/ρ, em que E é o módulo de Young, e ρ é a massa especifica do material.

2.2 - Vibração Transversal

        A equação para a vibração transversal de uma estrutura é obtida a partir do equilíbrio dinâmico de um elemento infinitesimal na direção x

[pic 11]

[pic 12]

        Da Segunda Lei de Newton (com algumas substituições e simplificações), decorre a Equação de Euler-Bernoulli, válida para (0 < x < L e t > 0) e que pode ser resolvida com o Método de Separação de Variáveis.

[pic 13]

Onde:        - c2 = EI/Aρ, em que ρ é a massa específica do material, e A é a área da seção transversal.

3 - Equilíbrio dos Fios

3.1 - Cabo sujeito a cargas concentradas

        Quando um cabo de peso próprio desprezível suporta várias cargas concentradas, este assume a forma de vários segmentos de linha reta. A solução deste tipo de problema implica nas equações de equilíbrio de forças em cada nó (∑Fx, ∑Fy, ∑Fz) e noções básicas de geometria. [pic 14][pic 15]

3.2 - Cabo sujeito à carga distribuída

        O peso próprio do cabo é desprezível, considerando-se apenas o carregamento a que o cabo é submetido. A partir da análise do diagrama de um infinitesimal de cabo, seguida das equações de equilíbrio, expansões trigonométricas, simplificações, derivações e integrações, chega-se à expressão para a curva de deslocamentos de um cabo sujeito à carga distribuída.

[pic 16][pic 17]

     [pic 18][pic 19]

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Onde:        - C1 e C2 são constantes, a serem determinadas com as condições de contorno do problema;

        - Fh é a componente horizontal da força trativa em qualquer ponto ao longo do cabo;

        - Wo é o valor do carregamento a que o cabo está submetido quando este é constante.

3.3 - Cabo sujeito à carga distribuída com carregamento variável

        A formulação para este tipo de problema é análoga a do caso anterior (carga distribuída), porém o carregamento se apresenta variável ao longo do cabo.