Departamento de Teoria de Campos e Partículas
Por: LCRS • 27/8/2019 • Trabalho acadêmico • 2.718 Palavras (11 Páginas) • 132 Visualizações
[pic 1] | Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas - CBPF Departamento de Teoria de Campos e Partículas - DCP |
Integrais Primeiras
por
Victor Rocha Rodrigues da Silva
I. Introdução
“Constantes de movimento” ou “integrais primeiras” são de fundamental importância matemática pois permitem que um problema físico seja resolvido ou pelo menos abordado de forma tal que aspectos ocultos da questão possam ser revelados de forma mais objetiva. O termo “constantes de movimento” por questões históricas sugere em primeira análise a abordagem exclusiva de problemas relacionados à Mecânica, porém estas são amplamente utilizadas em todos os ramos da Física. Já o termo “integral primeira” tem como origem o fato de quase sempre podermos resolver uma equação diferencial com a utilização de tais constantes através de uma integral (resolução por quadratura). O termo quase é devido ao fato de muitas vezes o grau de complexidade de tal integral não permitir à priori a existência de soluções analíticas, sendo necessário a utilização de métodos númericos (Método do Trapézio, Método do Trapézio Repetido, Método da Quadratura Gaussiana, Método de Simpson, Método de Simpson Repetido ...). O procedimento abaixo ilustra o método básico para um caso simples de resolução de um problema genérico em duas dimensões com a inclusão de três integrais primeiras, devendo ficar claro que tal procedimento pode ser generalizado para problemas com dimensão física n.
[pic 2]
Em inúmeras situações tais contantes podem ser de difícil determinação, além de não apresentarem um significado físico relevante. Um interessante exemplo que ilustra tais pontos ocorre em uma nota de Parsons1. Em um problema de descarga de gás, ele escreveu a seguinte equação:
[pic 3]
Parsons1 estabeleceu a existência de dois fatores de integração para a equação diferencial acima, denominadas e , originando duas integrais primeiras: [pic 4][pic 5][pic 6]
[pic 7]
onde A e B são constantes se x satisfizer a equação devida à Parsons. É importante observar que neste caso x não é coordenada de posição e t não é o tempo, mas não importa pois a utilização destas pela simples eliminação de permite que a solução geral da equação de Parsons possa ser encontrada. Este exemplo é importante pois ilustra a universalidade na utilização das integrais primeiras em todos os campos da Física e não somente na Mecânica. Através da resolução da equação abaixo pode ser encontrada a solução da equação de Parsons1:[pic 8]
[pic 9]
Apenas à título de ilustração, tem-se o procedimento para a determinação de tais constantes utilizando os fatores de integração mencionados:
Integral Primeira (A):
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Integral Primeira (B):
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
Questão: Há a possibilidade de ser uma integral primeira da equação originada por um fator de integração ƒ que à priori não se conhece ?[pic 22][pic 23][pic 24]
PROVANDO QUE NÃO POR ABSURDO[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
Assim é integral primeira da equação se somente se 1 = -1 !!![pic 34][pic 35]
É de suma importância notar que integrais primeiras independentes é que são de interesse na análise de problemas físicos, da mesma forma que um sistema de equações com k variáveis e k equações, devam ser independentes entre si para que a solução possa ser única. No interior de tal questão percebe-se o conceito de determinismo sendo aplicado. Neste exemplo observa-se a independência de tais constantes na existência de um termo em t que não permite que estas sejam dependentes entre si.
Este trabalho tem por finalidade determinar e analisar possíveis formas de representação de constantes de movimento para o caso do Oscilador Harmônico Amortecido, e em particular com especial atenção para a constante de Bohlin, que a primeira vista parece de interpretação física complexa, mas que permite uma análise profunda da questão em muitos aspectos dependendo dos valores que esta assume.
II. Duas Integrais Primeiras
Por uma questão de conveniência pode-se utilizar a equação de movimento do Oscilador Harmônico Amortecido sob duas formas. A primeira destas, é a forma usual:
[pic 36]
Resolvendo tal equação, temos os seguintes casos possíveis de amortecimento para o oscilador harmônico dependendo da relação existente entre os parâmetros ω0 e μ:
a) Supercrítico: μ > ω0
[pic 37]
b) Crítico: μ = ω0
[pic 38]
c) Subcrítico: μ < ω0
[pic 39]
onde: [pic 40]
Na segunda forma, introduz-se os parâmetros λ1 e λ2 tal que λ1 + λ2 = 2 · μ, λ1 · λ2 =. Isto é:[pic 41]
[pic 42]
Analogamente à outra forma, resolvendo tal equação, temos os seguintes casos possíveis de amortecimento para o oscilador harmônico dependendo da relação existente entre os parâmetros λ1 e λ2:
...