Forma matricial - Dinamica dos sistemas

Dinâmica dos Sistemas

Dentre todas as informações que são necessárias para este desenvolvimento, foram

escolhidas as mais relevantes e aqui apresentadas. Ressalte-se que na disciplina on-line

mais especificamente a de Dinâmica dos Sistemas, disponível no site da UNIP, o módulo

01 apresenta a Cinemática dos Sólidos, o módulo 2 apresenta a Dinâmica dos Sólidos.

A cinemática

Um sólido é uma abstração de um corpo real onde a

distância entre dois de seus pontos é invariante.

Considere-se dois pontos A e P de um sólido

qualquer, que apresenta vetor velocidade angular ⃗ω .

Note-se que esse vetor possui a direção do eixo

instantâneo de rotação, com sentido dado pela regra da

mão direita e intensidade igual à taxa de variação

(derivada temporal) da posição angular. A derivada

temporal do vetor velocidade angular é o vetor

aceleração angular: ˙⃗ω=⃗α .

Os pontos A e P apresentam velocidades e acelerações

diferentes. Identificando as grandezas cinemáticas de

cada um desses pontos, tem-se:

⃗v A ... o vetor velocidade do ponto A; ⃗a A=˙⃗v A ... o vetor aceleração do ponto A;

⃗vP ... o vetor velocidade do ponto P; ⃗aP=˙⃗v P ... o vetor aceleração do ponto P;

Num instante (t) qualquer, o sólido encontra-se numa posição por exemplo a posição

ilustrada, e as grandezas cinemáticas citadas anteriormente são válidas para esse

determinado instante e posição do sólido.

Da Cinemática dos Sólidos podem-se resgatar as relações entre as grandezas vetoriais

do sólido.

As velocidades dos pontos P e A relacionam-se por: ⃗vP=⃗v A+⃗ω∧(P−A)

Note-se que o vetor (P – A) possui módulo invariante pois é definido por dois pontos de

um sólido, e por ser arrastado pelo sólido em movimento com rotação muda de direção. A

derivada temporal do vetor (P – A) é expressa pelo Teorema de Poison:

d

dt

(P−A)=⃗ω∧(P−A) .

As acelerações dos pontos P e A relacionam-se por: ⃗aP=⃗aA+⃗α∧(P−A)+⃗ω∧(⃗ω∧(P−A))

A dinâmica

A forma da segunda Lei de Newton (Σ⃗F=m⋅⃗a) só pode ser preservada caso a

A

P

ω

α

Eixo instantâneo de rotação

Prof. Brasílio//Dinâmica dos Sistemas – 2015 - 2/24

aceleração indicada na mesma, seja de um ponto muito especial do sólido: o Centro de

Massa.

Centro de Massa – Definição

Considere-se o elemento de massa “dm” do sólido,

localizado no ponto P(x,y,z), que apresenta vetor

velocidade ⃗vP . Ressalte-se que o ponto P é definido

pelas coordenadas x, y e z.

O Centro de Massa é definido por suas coordenadas

xCM , yCM e zCM , que por definição são:

xCM=∫ x⋅dm

∫dm

=∫x⋅dm

m

sendo “m” a massa do sólido.

De forma análoga …

yCM=∫ y⋅dm

m

e zCM=∫z⋅dm

m

O ajuste da Segunda Lei de Newton para sólidos é

feito pelo TCM – Teorema do centro de Massa.

TCM – Teorema do Centro de Massa

Sendo ⃗aCM , a aceleração do Centro de Massa de um sólido de massa “m”, sob ação

de um sistema de forças de origem externa ao mesmo, com resultante Σ⃗Fext . , o TCM

garante que:

Σ⃗Fext .=m⋅⃗aCM

Momento Linear ou quantidade de movimento – Definição

A Quantidade de Movimento de um ponto material de massa “m” e velocidade ⃗v , é

definido por: ⃗q=m⋅⃗v . A Quantidade de Movimento do elemento de massa “dm” que

ocupa o ponto P(x,y,z) do sólido, e que se desloca com vetor velocidade ⃗vP , de forma

análoga é: d ⃗q=dm⋅⃗vP . Note-se que esse vetor possui a mesma direção e sentido do

vetor velocidade do ponto P, ou de outra forma, velocidade do elemento de massa “dm”.

Momento Polar de grandeza vetorial – Definição

Seja ⃗Δ

, uma grandeza vetorial qualquer, aplicada no ponto P(x,y,z). O momento

Polar dessa grandeza em relação ao polo O(xO,yO,zO), um ponto qualquer do espaço, é

dado por: ⃗MO=(P−O)∧⃗Δ

.

Note-se que:

⃗MO... é o momento polar da grandeza vetorial ⃗Δ

,

...