MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOS SISTEMA ROTACIONAL MECÂNICO
Por: TIAGO RIBEIRO SILVEIRA • 29/9/2020 • Trabalho acadêmico • 1.370 Palavras (6 Páginas) • 149 Visualizações
UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO[pic 1]
CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
LABORATÓRIO DE CONTROLE I
LUCAS SOUSA PINHEIRO
MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOS
SISTEMA ROTACIONAL MECÂNICO
[pic 2]
São Luís – Setembro/2018
Sumário
1. Introdução 3
2. Modelagem do Sistema Rotacional Mecânico 3
3. Desenvolvimento de Projeto 5
3.1 Tarefa 1 – Resposta em malha aberta 5
3.1.1 Resultados 6
3.2 Tarefa 2 – Características do modelo LTI (Linear Invariante no Tempo) 6
3.2.1 Resultados 7
4. CONCLUSÃO 8
Referências 9
Anexo – Código MATLAB 9
[pic 3]
Introdução
O desenvolvimento de modelos matemáticos para sistemas físicos é o primeiro passo para projetos de controle. Para isso, deve-se conhecer a planta detalhadamente e reconhecer todas as variáveis que influenciam no seu funcionamento.
Neste trabalho será feito a modelagem de um sistema rotacional mecânico formado por um motor CC. Com a função de transferência do motor, será analisado a característica da resposta em relação a uma entrada a degrau. Em seguida, utilizando o gráfico da resposta obtida anteriormente, será obtido os parâmetros de desempenho solicitados, como o tempo de subida e tempo de acomodação.
Modelagem do Sistema Rotacional Mecânico
[pic 4]
Figura 1 - Sistema Rotacional Mecânico (Motor CC)
A modelagem desse sistema terá como variável de entrada a fonte de tensão contínua (), e a saída do sistema será a velocidade do rotor (). Dessa forma, a função de transferência construída será . Abaixo temos as variáveis que serão utilizadas nessa modelagem.[pic 5][pic 6][pic 7]
Tensão de entrada[pic 8]
Corrente de armadura[pic 9]
Resistência de armadura (1Ω)[pic 10]
Indutância de armadura (0,5 H)[pic 11]
Tensão induzida[pic 12]
Posição do rotor[pic 13]
Velocidade de rotação do rotor[pic 14]
Aceleração do rotor[pic 15]
Momento de inércia (0,01 kg.m²)[pic 16]
Coeficiente de fricção viscosa (0,1 N.m.s)[pic 17]
Constante de torque do motor (0,01 N.m/A)[pic 18]
Constante de força eletromotriz (0,01 V/rad/s)[pic 19]
O primeiro passo será levantar as equações que caracterizam esse sistema. A equação elétrica na armadura do motor CC pode ser obtida através da Lei das malhas de Kirchhoff:
[pic 20] | (1) |
Onde a tensão induzida de motores CC é dada pela seguinte relação:[pic 21]
[pic 22] | (2) |
Então:
[pic 23] | (3) |
A equação diferencial que rege o sistema mecânico mostrado na Figura 1 está abaixo:
[pic 24] | (4) |
[pic 25] | (5) |
[pic 26] | (6) |
Onde é a constante de tempo do sistema mecânico.[pic 27]
Fazendo a transformada de Laplace das equações diferenciais (3) e (6) obtemos as equações (7) e (8) respectivamente:
[pic 28] | (7) |
[pic 29] | (8) |
Substituindo de (8) em (7) temos:[pic 30]
[pic 31] | (9) |
[pic 32] | (10) |
[pic 33] | (11) |
[pic 34] | (12) |
[pic 35] | (13) |
A equação (13) é a função de transferência que relaciona a tensão de entrada na armadura e a velocidade de rotação do rotor. A partir de que o projeto de análise das respostas será construído.[pic 36]
Desenvolvimento de Projeto
Considere primeiro que o nosso motor não compensado gira em 0,1 rad/s em estado estacionário para uma tensão de entrada de 1 Volt. Uma vez que o requisito mais básico de um motor é que ele deve girar à velocidade desejada, exigiremos que o erro de estado estacionário da velocidade do motor seja inferior a 1%.
Outro requisito de desempenho para o nosso motor é que ele deve acelerar a sua velocidade estável assim que ele ligar. Neste caso, queremos que ele tenha um tempo de acomodação inferior a 2 segundos. Além disso, uma vez que uma velocidade mais rápida do que a referência pode prejudicar o equipamento, queremos ter uma resposta ao degrau com um sobressinal (overshoot) de menos de 5%.
Resumindo, os seguintes parâmetros devem ser atendidos para um comando de degrau unitário na velocidade do motor:
- Tempo de acomodação menor que 2 segundos;[pic 37]
- Sobressinal menor que 5%;[pic 38]
- Erro de estado estacionário inferior a 1%.[pic 39]
Tarefa 1 – Resposta em malha aberta
Aplique os dados dos parâmetros físicos do motor CC na equação (13), achando a função de transferência em malha aberta. Em seguida entre com os parâmetros no MATLAB e aplique uma entrada em degrau unitário.
- Achar o tempo de subida do sistema . Tempo necessário para que a saída aumente o valor de 10% a 90% do estado estacionário.[pic 40]
- Achar o tempo de acomodação . Tempo necessário para que a saída atinja uma porcentagem de erro de estado estacionário, geralmente 2% de erro.[pic 41]
Resultados
Substituindo os valores informados do motor CC na função de transferência da equação (13) temos:
[pic 42] | (14) |
Por meio do MATLAB encontramos a seguinte resposta para a função de transferência do motor CC em malha aberta, que pode ser visualizada na Figura 2.
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