Método das Diferenças Finitas Aplicado a Casos 1D e 2D

Matheus Alves Garrido

Thiago Rodrigues

Método das Diferenças Finitas Aplicado a Casos 1D e 2D

Recife-PE

Outubro, 2017

Dado um meio poroso mostrado na Figura 1, calcule as pressões em cada nó de acordo com a seguinte discretização do domínio:

[pic 2]

Figura 1. Representação do domínio do problema proposto 1.

Sendo [pic 3] a permeabilidade do bloco, neste caso, unitária ([pic 4]), [pic 5] a pressão e [pic 6] a distância entre os nós.

Levando em consideração que a massa é conservada no volume de controle acima, o balanço de massa é dado por:

sendo [pic 8] a massa específica, t o tempo, [pic 9] o vetor de velocidade de Darcy e q o termo de fonte sumidouro.

A relação entre a velocidade de um fluido e o seu gradiente hidráulico é dada de forma linear pela Lei de Darcy:

sendo [pic 11] a permeabilidade absoluta do meio, [pic 12] a viscosidade do fluido, g o módulo de aceleração gravitacional, p a pressão e z a cota vertical.

Levando em consideração as seguintes premissas simplificadoras para a solução do problema:

• O fluido é incompressível ([pic 13] );
• O meio poroso é incompressível ([pic 14]);
• Modelo unidimensional ([pic 15]);
• Não há variação da cota vertical ([pic 16] ).

Logo, a Equação 1 pode ser simplificada para:

Dando a conservação da massa para o problema em questão. A Equação 2 também pode ser simplificada, podendo ser expressada por:

Considerando a viscosidade do fluido unitária ([pic 21]), a Equação 6 pode ser reescrita:

Substituindo (6) em (5), obtemos a equação geral do problema que teremos que aproximar:

Não atua no domínio nenhum termo de fonte/sumidouro, logo Q=0, com as seguintes condições de contorno (c.c):

Aplicando o conceito do método das diferenças finitas (MDF) centrada nos nós do bloco, teremos:

Com [pic 26] e [pic 27], teremos:

A Equação 11 pode ser escrita para os blocos 2, 3 e 4 do domínio:

A matriz de transmissibilidade é dada por:

Fazendo as seguintes operações algébricas para escalonar a matriz anterior, teremos:

Logo, as pressões calculadas para cada nó são:

Dado um meio poroso mostrado na Figura 2, com a seguinte discretização do domínio:

[pic 37]

Figura 2. Representação do domínio do problema proposto 2.

Sendo [pic 38] e [pic 39]as permeabilidades do bloco, [pic 40] a pressão e [pic 41] a distância entre os nós ([pic 42]).

Pede-se:

• Cálculo das pressões nos nós, levando em consideração:

1. [pic 43] através da média harmônica.
2. [pic 44] através da média aritmética.
3. Demonstre que a permeabilidade média é a média harmônica.

        A média harmônica (MH) para obter o [pic 45] é dada pela equação 21:

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