O Campo de Aceleração

Campo de aceleração

As leis fundamentais de conservação são apresentadas para um sistema de identidade fixa. Nos casos em que a análise de um volume de controle é mais apropriado do que a análise do sistema, é preciso reformular essas leis fundamentais de maneira que possam ser utilizadas ao volume de controle. Existe uma semelhança direta entre sistema versus volumes de controle na termodinâmica e nas descrições lagrangiana versus euleriana na dinâmica dos fluidos. As equações do movimento do escoamento de fluidos são escritas para um objeto de identidade fixa, tomado como uma pequena quantidade de fluido, que são denominadas de partícula de fluido ou partícula material.  (ÇENGEL; CIMBALA, 2007)

Ao seguir o movimento de determinada partícula no fluido em seu escoamento, estaria sendo Porém, uma certa alteração matemática seria necessária para converter as equações de movimento em formas aplicáveis à descrição euleriana.  (ÇENGEL; CIMBALA, 2007)

Considere por exemplo a segunda lei de newton aplicada a partícula de fluido

Segunda lei de newton: partícula = partículaparticula  [pic 1][pic 2][pic 3]

Onde partícula é a força resultante que age sobre a partícula de fluido, partícula é sua massa e particula é sua aceleração (figura 1). [pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

Figura 1: a segunda lei de newton aplicada a uma particula de fluido.

 A aceleração de fluido é definida como a derivada no tempo da velocidade da particula

Aceleração:                                                                                                  (1.0)[pic 8]

Porém, em qualquer instante de tempo t, a velocidade da partícula é igual ao valor local do campo de velocidade no local (xparticula(t), Yparticula(t), Zparticula(t) da partícula em razão de que a partícula do fluido se movimenta com o fluido, por definição. Em outros termos, particula≡ (xparticula(t), Yparticula(t), Zparticula(t), t). Para tomar a derivada de tempo da equação de aceleração, tem de se usar a regra da cadeia, visto que a variável dependente () é uma função de quatro variáveis independentes (xparticula, Yparticula, Zparticula e t). (ÇENGEL; CIMBALA, 2007)[pic 9][pic 10][pic 11]

(1.2)[pic 12]

Na equação 1.2,  é o operador de derivada parcial e d é o operador de derivada total. Considerando o segundo termo do lado direito da equação 1.2. Como a aceleração é definida como a obtida seguindo uma partícula de fluido, a taxa de variação da posição x da partícula com relação ao tempo é dxpartícula/Dt = u, onde u é a componente x do vetor velocidade. Da mesma forma, dypartícula/dt= v e dzpartícula/dt= w. Além disto em qualquer instante de tempo considerado, o vetor posição material (xparticula, Yparticula, Zparticula). (ÇENGEL; CIMBALA, 2007)[pic 13]

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