O Departamento de Ensino Superior Bacharelado em Engenharia Elétrica
Por: matheususu • 21/9/2021 • Projeto de pesquisa • 1.537 Palavras (7 Páginas) • 203 Visualizações
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grUpo:
Matheus dos Santos Ferreira
Jefferson Wagner Santos de Oliveira
Paulo Henrique Rodrigues de Moura
Caio Cunha Rego de Oliveira
Rafael Romão da Silva
Aplicações De INTEgraÇÃO numérica
Departamento de Ensino Superior Bacharelado em Engenharia Elétrica
Disciplina: Cálculo numérico
Professor: Paulo Henrique da Fonseca Silva
joão pessoa
2021
Sumário
1 Aplicações De INTEgraÇÃO numérica 4
1.1 INTRODUÇÃO 4
1.2 Aplicações DE métodos de INTEGRAÇÃO NUMÉRICA na área de engenharia elétrica 5
1.2.1 PRIMEIRA APLICAÇÃO: CIRCUITO RC 5
1.2.2 SEGUNDA APLICAÇÃO: RESPOSTA DE UM TRANSDUTOR A UMA ONDA DE CHOQUE 7
1.2.3 TERCEIRA APLICAÇÃO: CÁLCULO DA POTÊNCIA MÉDIA 8
ReferÊncias 10
Aplicações De INTEgraÇÃO numérica
INTRODUÇÃO
A integração numérica envolve métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas. Para compreender adequadamente este assunto, é pré-requisito básico conhecer o conteúdo de uma integral, entender que a integral é a anti-derivada, saber diferenciar integrais definidas e indefinidas e conhecer as regras básicas para encontrar funções primitivas F(x).
Uma função f é, em geral, dada por uma “fórmula”, que nada mais é do que a combinação finita, via somas, multiplicações, divisões e composições de funções elementares. As funções elementares são as usuais: potências de x (negativas e positivas), funções trigonométricas e suas inversas, logaritmo e exponencial.
Entretanto, no mundo abstrato de todas as funções possíveis, essas funções formam apenas uma minúscula parte. Em outras palavras, a grande maioria das funções não tem uma fórmula que as represente, embora nas aplicações do ‘mundo real’ os modelos frequentemente conduzam a funções descritas por meio de fórmulas.
Mesmo se nos restringirmos apenas às funções dadas por fórmulas, acabaremos por nos deparar com um fato matemático: nem todas elas admitem uma primitiva que também seja escrita como combinação (finita) de funções elementares!
Isto é possível (em muitos casos de forma até razoavelmente fácil), mas com dois inconvenientes: primeiro, quando formos avaliar F(a) e F(b) através da série (ou da fórmula infinita) pode ser necessária uma quantidade tão grande de termos (ou operações) que inviabilize ou torne muito lento o cálculo. Além disso, nem sempre séries de potência convergem para todos os valores de x, o que exigiria uma análise criteriosa do alcance dessa convergência, em cada caso.
De outra parte, é preciso também dispor de instrumentos para estimar integrais a partir de dados experimentais. As aplicações mais ´obvias se encontram no cálculo de comprimentos, áreas, volumes, massa, centro de massa, distância percorrida, tempo decorrido, etc. No que segue, discutiremos algum exemplos onde a integração numérica se faz necessária: ora por se tratar de medida experimental ora porque não há primitiva elementar da função que se quer integrar.
Aplicações DE métodos de INTEGRAÇÃO NUMÉRICA na área de engenharia elétrica
PRIMEIRA APLICAÇÃO: CIRCUITO RC
A resposta natural de um circuito RC é dada por:
, 𝑡 ≥ 0 onde é a tensão inicial no capacitor e 𝜏 é a constante de tempo para o circuito, dado por 𝜏 = 𝑅𝐶. [pic 4][pic 2][pic 3]
Sendo a corrente obtida por , pode-se calcular a potência da seguinte forma:[pic 5]
[pic 6]
A energia envolvida pode ser calculada integrando da seguinte maneira:
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E por fim a potência média é dada por:
[pic 8]
Então, tomando por base os dados acima iremos considerar as medições a seguir realizadas em laboratório: 𝑅 = 1Ω, 𝐶 = 0,001𝐹 , 𝑒 𝑜 𝜏 = 3𝑅𝐶.[pic 9]
Analiticamente obtém-se o comportamento:
[pic 10]
[pic 11]
A energia (𝜔) é a área sob a curva P x t. O cálculo desta área é a sua integral. Os gráficos a seguir ilustram o presente exercício.
[pic 12]
Obviamente, a resolução analítica é possível dada a simplicidade do circuito em análise. Em circuitos mais complexos, pode-se fazer uso de integrais numéricas, sendo então esta a motivação que leva a utilização dos métodos de integração numérica.
Sendo assim, a Tabela 1.2.1.1 a seguir apresenta os resultados do problema proposto pelo método de integração numérica do trapézio (integração numérica por Newton-Cotes). Percebe-se que quanto maior o número de pontos, por tantas divisões (n), maior será a precisão da solução encontrada.
Como os valores analíticos são conhecidos, o erro pode ser calculado por:
[pic 13]
Outra maneira pode ser a comparação direta entre as soluções obtidas para diferentes n.
[pic 14] | [pic 15] | [pic 16] | [pic 17] | [pic 18] |
2 | 0,00150 | 0,0827 | 27,5513 | 65,72 |
10 | 0,00030 | 0,0514 | 17,1212 | 2,9822 |
50 | 0,00006 | 0,0499 | 16,6453 | 0,1200 |
Existem muitos outros métodos para realizar integração numérica. A Tabela 1.2.1.2 a seguir apresenta os mais conhecidos.
Para todos os citados, o passo é dado por: . O erro de truncamento pode ser calculado utilizando a informação da derivada de ordem superior do ponto qualquer (ξ) entre a e b.[pic 19]
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