Os Sinais e Sistemas

Parte 1: Convolução

Seja o sistema descrito pela equação diferencial:

[pic 1]

com condição inicial  antes do impulso ser aplicado.[pic 2]

1. Determine a resposta ao impulso para o sistema.

Solução. Sabemos que o efeito de  é causado apenas em um intervalo de tempo muito pequeno próximo de zero, portanto, podemos realizar a integral da função para um curto espaço de tempo antes e depois de zero.[pic 3]

[pic 4]

(1.1)

A integral de  é definida por y, a integral de y para um intervalo de tempo muito estreito é zero e sabemos que a integral do impulso unitário é um. Logo,[pic 5]

[pic 6]

Vamos determinar que  pois o sistema está em repouso no instante anterior a aplicação do impulso. Assim, o efeito do impulso ocorre apenas após o instante zero, ou seja, para . Para tempo positivo, temos a seguinte equação diferencial [pic 7][pic 8]

[pic 9]

(1.2)

Assumindo uma solução onde, , então . Logo, substituindo os valores na equação anterior, temos:[pic 10][pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Como  é preciso que . Dessa forma a resposta par ao impulso é  . Devido ao fato de que  para tempo negativo, a função degrau unitário é definida[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

Com essa definição, a resposta ao impulso do sistema de primeira ordem torna-se

[pic 20]

(1.3)

1. A resposta do sistema para uma entrada geral é dada pela convolução entre este sinal e a resposta ao impulso. Esta afirmação é verdadeira ou falsa? justifique matematicamente.

Solução. Data uma entrada geral , podemos fazer [pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

(1.4)

Como a resposta ao impulso é zero para tempo menor que zero, temos

[pic 24]

(1.5)

1. Realize uma simulação computacional através da resposta ao impulso em um sistema prático (sistema elétrico, mecânico, dentre outros).

[pic 25]

FIGURA 1.1 – Sistema de massa-mola-amortecedor em um carro.

Dado o sistema mecânico apresentado na figura 1.1, temos como representação do sistema em espaço de estado

[pic 26]

e

[pic 27]

onde,

[pic 28]

Vamos realizar a simulação através da resposta ao impulso usando , portanto[pic 29]

[pic 30]

(1.6)

[pic 31]

(1.7)

[pic 32]

[pic 33]

FIGURA 1.2 – Código da simulação.

        

[pic 34]

FIGURA 1.3 – Simulação de resposta ao impulso do sistema mecânico apresentado.

Validação prática da operação de convolução

Sabemos q resposta ao impulso é como o sistema reage a um pulso de duração que tende a zero e amplitude unitária. E tendo a resposta de como um sistema reage a uma entrada de impulso unitário, nós podemos caracterizar como o sistema reage a qualquer tipo de entrada x[n] se a conhecemos a resposta ao impulso.