Vibração Livre de Sistema Amortecido a 1 Grau de Liberdade

Vibração Livre de Sistema Amortecido a 1 Grau de Liberdade

Na figura é representado um sistema mecânico que está inicialmente em repouso. Repentinamente, a massa sofre um impulso de um agente externo, que constitui basicamente da aplicação de uma força em um intervalo de tempo muito pequeno, a chamada Força Impulsivo. Imediatamente após a aplicação desse impulso, a massa começa a se movimentar livremente a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de 0,10 m/s. Neste caso, entretanto, além desse impulso inicial, a massa passa a sofrer a ação simultânea e permanente de uma força de excitação dada por F(t)= 27 . sen 15t (SI).

Vamos determinar o movimento da massa ao longo do tempo, isto é, a função horária da posição u(t),

bem como a função horária da velocidade da massa v(t)= ů(t). São conhecidos:

• Peso da massa colocada na extremidade da viga P= 18 kgf

• A rigidez da viga na direção vertical dada por k= 8758 N/m

• A característica do amortecedor dada pela sua constante c = 130 N.s.m^-1

• A aceleração da gravidade g= 9,8 m/s²

⎡                                         ⎤[pic 1]

⎣

u    = U  ⋅ sen (ω ⋅t− φ ) =  F 0    ⋅ χ ⋅ sen (ω ⋅t− φ ) =  F 0    ⋅ ⎢                     1                      ⎥ ⋅ sen (ω ⋅ t − φ )

⎦

p

F0   = 27 N[pic 2]

ω[pic 3]

---

k

e ω= 15 rad/s

---

k    ⎢   (1 − r 2 )2     + (2 ⋅ ζ

⎡

⎢

---

⋅ r ) 2   ⎥

⎤

⎥

r = ω    ω= 22 rad/s                     ζ= 0,164

---

  27    ⎢                        1                         ⎥

n                                                                                                                          u p  =

---

⋅ ⎢

8758                    2    2

---

⎥ ⋅ sen(15 ⋅ t − φ )

2[pic 4]

⎢

− ⎜     ⎟

⎝

---

+ ⎛ 2 ⋅ 0,164 ⋅     ⎞  ⎥

Assim, substituindo na equação anterior que fornece

Consultando uma tabela trigonométrica, teremos φ = 0,369 rad

---

⎢ ⎨1

⎢⎣ ⎪⎩

---

⎛ 15 ⎞

⎝ 22 ⎠  ⎪⎬     ⎜

⎭

---

15

⎟  ⎥

22 ⎠  ⎥⎦

Vibração Forçada:[pic 5]

---

u p  = 0,0053⋅ sen(15 ⋅ t − 0,369)

Vamos representar a solução geral do problema incluindo as duas parcela:

u(t) = e−ζ ⋅ωn⋅t  ⋅ A⋅ sen(ω[pic 6]

d

---

⋅t + Ψ)+0,0053⋅ sen(15⋅t −0,369)

ωd    = 21,7rad / s[pic 7]

Substituindo os valores numéricos:

u(t ) = e −3,61⋅t  ⋅ A ⋅ sen(21,7 ⋅ t + Ψ) + 0,0053 ⋅ sen(15 ⋅ t − 0,369)[pic 8]

Condições iniciais t=0

∙

u(t ) = −A⋅ 3,61⋅ e−3,61⋅t  ⋅ sen(21,7 ⋅ t +ψ )+ A⋅ e−3,61⋅t ⋅ 21,7 ⋅ cos(21,7 ⋅ t +ψ )+ 0,0053⋅15⋅ cos(15⋅ t − 0,369)[pic 9]

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