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O USO DAS PROBABILIDADES MATEMÁTICAS NAS ESCOLAS URBANAS NO ENSINO MÉDIO

Por:   •  11/11/2018  •  Trabalho acadêmico  •  5.033 Palavras (21 Páginas)  •  101 Visualizações

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UNIVERSIDADE METROPOLITANA DE SANTOS

NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

FACULDADE DE EDUCAÇÃO E CIÊNCIAS HUMANAS

CURSO DE MATEMÁTICA

__________________________________________________________

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

Jackson Silveira da Rocha

Larissa Silva Martins Marques

Leon Denis Ambires

Sueli Martinez

O USO DAS PROBABILIDADES MATEMÁTICAS NAS ESCOLAS URBANAS NO ENSINO MÉDIO

Resumo

A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. 

O objetivo deste trabalho é desenvolver uma proposta de ensino para o estudo do raciocínio combinatório e do cálculo de probabilidades através de um jogo e da metodologia de resolução de problemas, exercícios de fixação e de aplicação, tem-se mostrado ineficaz. Levando em conta esse desafio, acreditamos que aplicar uma atividade que faça com que os alunos participem e sejam os personagens ativos no processo, faz com que haja uma maior aprendizagem. O jogo faz com que o aluno, de maneira intuitiva, possa obter vantagem, utilizando os conhecimentos de probabilidade, diante de uma situação desafiadora.

Atualmente, o estudo das teorias probabilísticas é de grande importância, em virtude de seus teoremas e definições incisivas. Possui aplicação nos estudos relacionados à estatística, economia, engenharia, física, química, jogos estratégicos, entre outros ramos do conhecimento, abre um leque de opções e enfatiza as tomadas de decisões.

Palavras chave: Jogos, Raciocínio, Probabilidade, Aprendizagem

        

1. Introdução

A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

Atualmente, o estudo das teorias probabilísticas é de grande importância, em virtude de seus axiomas, teorema e definições incisivas. Possui aplicação nos estudos relacionados à estatística, economia, engenharia, física, química, jogos estratégicos, sociologia, psicologia, biologia, entre outros ramos do conhecimento, abre o laque de opções, enfatiza as tomadas de decisões.

No cotidiano usamos diariamente o cálculo de probabilidades de uma forma intuitiva, ao acordarmos olhamos o tempo, sentimos a temperatura, ouvimos e consultamos a internet sobre a previsão do tempo em determinado dia a partir daí escolheremos a roupa que vamos usar se levaremos guarda-chuva ou não; podemos também ter uma noção de que hora precisamos sair de casa para não chegar atrasado à escola, no trabalho, a probabilidade do trânsito estar congestionado, podemos também calcular a probabilidade do nosso time ganhar um campeonato, um jogo; a probabilidade de passarmos em um concurso público ou vestibular “chutando” todas as questões; diariamente, muitas pessoas no Brasil e em todas as partes do mundo – em busca de diversão e, principalmente, dinheiro – apostam em loterias, vão às casas de bingo, compram raspadinhas, gastam moedinhas em caças – níqueis viajam para lugares onde há cassinos.

A probabilidade está inserida fortemente na sociedade atual, por que não entender, usar, ensinar, aprimorar, discutir uma parte da matemática muito presente no cotidiano e que nos auxilia grandemente?

Procuramos elaborar esta atividade com base nos PCNs do Ensino Médio (2000, p. 41), na qual o professor deve propor atividades com desafios ao aluno: “(. . .) Habilidades como selecionar informações, analisar as informações obtidas e, a partir disso, tomar decisões que exigirão linguagem, procedimentos e formas de pensar matemáticos que devem ser desenvolvidos (. . .)”. Assim, as atividades valorizam o pensamento matemático em situações-problema do cotidiano ou em situações hipotéticas. 

Através de pesquisas bibliográficas enfatizaremos o estudo, incidência e o uso diário da probabilidade matemática com sua total importância entre as escolas urbanas no ensino médio. 

 

 

 

2. Público alvo

Escola urbana, rede municipal, estadual e particular, com os alunos do Ensino Médio.

Este projeto está direcionado para escolas estaduais e municipais com salas de aula, contendo acima de 30 alunos em média, porém nas escolas particulares possuem um número inferior de alunos, ou seja, diferentes abordagens e conceitos para o mesmo público.

As diferenças sociais presentes no Brasil e no mundo, diferem nas escolas públicas e particulares, através das condições de trabalho, estrutura escolar e familiar.

Desta forma, nosso público alvo pode ser o mesmo, mas com cotidianos distintos, devido seu nível cultural e econômico.

3. Metodologia

Proposta para a atividade

A proposta desta atividade, é estimular o uso de uma pedagogia que tenha como ponto de partida a realidade e as atividades práticas, o projeto que será desenvolvido com jogos de loterias, fará uma correspondência simples e direta do ensino com o cotidiano.

Metodologia na aplicação da atividade

Contemplando conceitos de probabilidade, dividimos a atividade proposta em 5 momentos:

Detalhamento da atividade, aplicação do questionário preliminar, atividade prática, aplicação dos questionários avaliativos e considerações da atividade.

O questionário preliminar aborda conhecimentos prévios acerca da atividade em questão e os questionários avaliativos, em algumas atividades, se subdivide em duas, avaliando a atividade prática e outro avaliando a atividade como um todo.

As considerações finais ocorrerão em um momento de troca de informações acerca da atividade desenvolvida mediante a apresentação das respostas aos principais questionamentos, sendo feitas nos 10 minutos finais da aula que sucediam a aplicação do questionário avaliativo.

Orientação da atividade

O professor-autor será o responsável de aplicar a atividade aos alunos, observando e orientando cada etapa desenvolvido pelo alunos.

Os alunos poderão utilizar calculadoras para a obtenção das respostas dos cálculos, mas terão que deixar o desenvolvimento do cálculo no questionário. Além disso, na aplicação dos questionários, o professor irá somente esclarecer dúvidas que surgirem no enunciado das perguntas elaboradas, não interferindo e nem dando sugestões para a resolução das questões.

Durante a aplicação da atividade será esperado algumas dificuldades por parte de alguns alunos, como conhecimento insuficiente para resolução dos questionários e talvez haja falta de comprometimento por parte de outros.

Atividade: Mega Sena

O jogo Mega-Sena é uma das loterias que atrai o maior interesse na população. O jogo consiste em acertar 6 números dentre os 60 (1 a 60) números disponíveis no volante (quem acerta 4 ou 5 ganha um prêmio secundário), sendo possível marcar de 6 a 15 números na aposta.

Os estudos relacionados à combinação de elementos e cálculo de probabilidades são essenciais na busca do entendimento das chances de ganho dos prêmios ligados a jogos lotéricos como: Mega Sena, loto mania, quina entre outras. Por abranger uma grande sequência de agrupamentos de elementos, podemos adaptar esses jogos para que sejam trabalhados em sala, objetivando demonstrar ao aluno como são efetuados os cálculos desses jogos lotéricos.

É importante ressaltar que esses cálculos devem envolver alunos do 1º e 2º ano do Ensino Médio, pois estão exatamente relacionados aos assuntos envolvendo Análise Combinatória. O material a ser utilizado deve ser construído com base no existente e controlado pelas lotéricas da Caixa Econômica Federal. Para que o universo de combinações seja menor, vamos diminuir o intervalo de números e os agrupamentos de números assinalados em cada cartela.

Por exemplo, na Mega Sena temos um universo de 60 números dos quais temos que acertar 6 números para o prêmio principal, gerando simplesmente 50.063.860 combinações. Podemos reduzir o conjunto universo de elementos para 15 números, possibilitando agrupamentos de 3 números em relação ao sorteio. Dessa forma teremos 15 números agrupados 3 a 3.

Os números que deverão ser sorteados são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 e 15. Os agrupamentos envolvendo esses números correspondem ao total de 455 combinações. Veja algumas:

1 – 2 – 3 
1 – 2 – 7
2 – 3 – 9 
7 – 12 – 15
9 – 11 – 14 
8 – 12 – 15
1 – 9 – 12
5 – 10 – 15
4 – 7 – 14
4 – 9 – 11
6 – 8 – 10 
2 – 7 – 9

As cartelas podem ser confeccionadas ou podemos utilizar os volantes disponíveis nas lotéricas, aproveitando somente os 15 números iniciais. O sorteio dos números pode ser realizado pelo professor com o auxílio do globo de números do jogo de bingo. Nessa situação somente as pedras enumeradas de 1 a 15 deverão ser utilizadas.

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O cálculo das combinações pode ser efetuado aplicando a seguinte fórmula:

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Calcular a chance de acertos depende do número de apostas realizadas dentro do total de 455. Por exemplo, caso uma pessoa aposte 5 cartelas, sua chance de ganhar é igual a:

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As atividades apresentadas são metodologias testadas e comprovadas em relação ao aproveitamento do ensino e do aprendizado dos alunos, dessa forma o professor pode aproveitar o material divulgado ou criar mecanismos próprios a serem trabalhados.

 

Para a realização dessa atividade serão necessários:

  • Uma urna contendo 15 bolas ou pedras numeradas de 01 a 15;
  • Cartelas numeradas de 01 a 15.

A fim de explicar como funciona a atividade Mega Sena, subdividiu-se a apresentação em partes, quais sejam: Justificativa; Objetivos; Conhecimentos prévios; O que esperar dos alunos; Metodologia; Condução da atividade.

Justificativa

A Mega Sena é um jogo que mexe com a imaginação de muita gente. Na esperança de se tornarem milionárias, algumas pessoas fazem de tudo para acertar as seis dezenas do sorteio e mudar de vida. Para isso, tentam descobrir a lógica dos resultados dos sorteios e recorrem a superstições do tipo: “quais números mais saem e quais menos saem”, “não se colocam três números seguidos”, entre outras.

Mostrar ao aluno que os resultados dos sorteios são aleatórios e não dependem dessa lógica, além de que é possível determinar a probabilidade de ganhar algum prêmio da Mega Sena com o conhecimento de probabilidade e Análise Combinatória, pode ser uma maneira de integrar a matemática com a realidade.

Utilizar uma simulação da Mega Sena, através de uma Mini Sena, será uma forma de fazer com que os alunos percebam o quão é difícil acertar na Mini Sena, mesmo com menos possibilidades de combinações.

Objetivos

Objetivo Geral: Calcular as probabilidades existentes no volante da Mega Sena.

Objetivos Específicos:

  • Utilizar os conhecimentos de Análise Combinatória no cálculo da probabilidade de ganhar algum prêmio da Mega Sena e na determinação do valor a ser pago em uma aposta de acordo com a quantidade de números assinalados.

Conhecimentos prévios

Na aplicação das atividades serão explorados conceitos de Análise Combinatória e definição de Probabilidade.

Análise Combinatória

Podemos determinar a análise combinatória como sendo um conjunto de possibilidade constituído por elementos finitos, a mesma baseia-se em critérios que possibilitam a contagem. Realizamos o seu estudo na lógica matemática, analisando possibilidades e combinações. Acompanhe o exemplo a seguir, para poder compreender melhor o que vêm a ser a análise combinatória.

Exemplo: Descubra quantos números com 3 algarismos conseguimos formar com o conjunto numérico {1, 2, 3}.

Conjunto de elementos finito: {1, 2, 3}

Conjunto de possibilidades de números com 3 algarismos: {123, 132, 213, 231, 312, 321}

Resposta Final: Com o conjunto numérico {1, 2, 3}, é possível formar 6 números.

A análise combinatória estuda os seguintes conteúdos:

  • Princípio fundamental da contagem
  • Fatorial
  • Permutação simples
  • Permutação com repetição
  • Arranjo simples
  • Combinação simples

Probabilidade

A palavra probabilidade deriva do latim probare, que significa testar, provar. Ela é utilizada em circunstâncias onde não temos a certeza de que algo irá ocorrer e são associadas chances a cada ocorrência possível. 

O conceito de probabilidade está totalmente dentro da nossa vida cotidiana. Quando pensamos ou falamos expressões do tipo: ''Será que vai chover amanhã?", "É muito provável que o avião chegue atrasado hoje", "Existe uma pequena chance deste time ganhar este jogo!". Em cada uma destas expressões está associada a ideia de que existe uma chance de ocorrer um determinado evento, ou que existe uma probabilidade deste evento ocorrer.

Existem três diferentes interpretações de probabilidades que são: a interpretação de frequência de probabilidade, a interpretação clássica de probabilidade e a interpretação subjetiva de probabilidade. Cada uma dessas interpretações podem ser muito úteis na aplicação da teoria das probabilidades e em problemas práticos.

Estudamos probabilidade com a intenção de prevermos as possibilidades de ocorrência de uma determinada situação ou fato. Para determinarmos a razão de probabilidade, utilizamos os conceitos descritos nas linhas a seguir.

Experimento aleatório

Um experimento é considerado aleatório quando suas ocorrências podem apresentar resultados diferentes. Um exemplo disso acontece ao lançarmos uma moeda que possua faces distintas, sendo uma cara e outra coroa. O resultado desse lançamento é imprevisível, pois não há como saber qual a face que ficará para cima.

Espaço amostral

O espaço amostral (S) determina as possibilidades possíveis de resultados. No caso do lançamento de uma moeda o conjunto do espaço amostral é dado por: S = {cara, coroa}, isso porque são as duas únicas respostas possíveis para esse experimento aleatório.

Evento

Na probabilidade a ocorrência de um fato ou situação é chamado de evento. Sendo assim, ao lançarmos uma moeda estamos estabelecendo a ocorrência do evento. Temos então que, qualquer subconjunto do espaço amostral deve ser considerado um evento. Um exemplo pode acontecer ao lançarmos uma moeda três vezes, é obtermos como resultado do evento o seguinte conjunto:

E = {Cara, Coroa, Cara}

Esse evento é subconjunto do espaço amostral, para representar essa afirmação utilizamos a seguinte notação:

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Razão de probabilidade

A razão de probabilidade é dada pelas possibilidades de um evento ocorrer levando em consideração o seu espaço amostral. Essa razão que é uma fração é igual ao número de elementos do evento (numerador) sobre o número de elementos do espaço amostral (denominador). Considera os seguintes elementos:

  • E é um evento.
  • n(E) é o número de elementos do evento.
  • S é espaço amostral.
  • n(S) é a quantidade de elementos do espaço amostral.

A Razão de probabilidade é dada por:

[pic 6]

Com n(S) ≠ 0

A probabilidade normalmente é representa por um fração, cujo seu valor sempre estará entre 0 e 1, ou seja:

0 ≤ P(E) ≤ 1

Podemos também representar a probabilidade com um número decimal ou em forma de porcentagem (%).

Exemplo: Ao lançarmos um dado com seis faces, qual a probabilidade de obtermos um número que seja múltiplo de 3?

Resposta: O espaço amostral do lançamento de um dado é representado pelos números:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(S) = 6

O evento é determinado pelas possibilidades de obtermos como resultado do lançamento um número que seja múltiplo de 3.

E = {3, 6}

n(E) = 2

A Razão de Probabilidade é dada por:

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A porcentagem referente à probabilidade é:

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Resposta final: A probabilidade de obtermos um número que seja múltiplo de 3, ao lançar um dado com seis faces é de 33,3% ou 1/3.

O que esperamos dos alunos nesta atividade?

Esperamos que o aluno ao realizar esta atividade consiga perceber que o valor pago pelas apostas se relaciona diretamente com a quantidade de números assinalados nos cartões de apostas, e que consigam perceber também que as suas chances aumentam de acordo com a quantidade de números assinalados nos cartões e com a quantidade de cartões apostados. E que as probabilidades de acertar a sena, a quina e a quadra, existentes no verso de cada volante, podem ser determinados com o conhecimento de probabilidade. 

A Atividade

Será feita uma explicação durante a primeira aula sobre as loterias, em especial a Mega Sena, logo em seguida será aplicado o questionário preliminar, tipo um diagnóstico, a respeito do conhecimento que eles possuem a respeito da Mega Sena.

Após o preenchimento do questionário preliminar será lançado o jogo Mini Sena, fazendo uma simulação da Mega Sena com o sorteio de três números de 01 a 15. Para essa atividade prática serão distribuídas duas cartelas para cada aluno pedindo que assinale em ambas as cartelas os mesmos números, 3 (três) no total, sendo entregue apenas uma para posterior conferência. Os alunos concorrerão a prêmios de acordo com a quantidade de números acertados na cartela.

Em outra aula, será feito um comentário rápido a respeito do jogo Mini Sena e, após o comentário, será lançado um questionário a respeito desse jogo.

Em uma outra aula, será respondido mais um questionário, relacionado ao jogo Mega Sena com as considerações finais.

Pretende-se nesta atividade instigar através do tema Mega Sena a curiosidade dos alunos em saber como se calculam as chances de ganhar algum prêmio.

4. Fundamentação teórica

Segundo o PCN do Ensino Médio, à medida que o cidadão se integra em uma sociedade de informação e crescentemente globalizada, as capacidades de comunicação, de solucionar problemas, de tomar decisões, de fazer inferências, de criar, de aperfeiçoar conhecimentos e valores, de trabalhar cooperativamente, são cada vez mais exigidas. A competência em Matemática e a possibilidade de compreender conceitos e procedimentos matemáticos são necessárias aos sujeitos tanto para que eles tirem conclusões e façam argumentações, quanto para agir como consumidores prudentes ou para tomar decisões em suas vidas pessoais e profissionais.

A Estatística e a Probabilidade devem ser vistas, então, como um conjunto de ideias e procedimentos que permitem aplicar a Matemática em questões do mundo real, mais especialmente aquelas provenientes de outras áreas. Devem ser vistas também como formas de a Matemática quantificar e interpretar conjuntos de dados ou informações que não podem ser quantificados direta ou exatamente. Estatística e Probabilidade lidam com dados e informações em conjuntos finitos e utilizam procedimentos que permitem controlar com certa segurança a incerteza e mobilidade desses dados.

Nos PCNs do Ensino Médio (2002), a probabilidade também vem reunida com a Estatística e a Análise Combinatória no tema estruturador Análise de Dados. Os conteúdos e habilidades propostos a serem desenvolvidas na probabilidade são:

  • Reconhecer o caráter aleatório de fenômenos e eventos naturais, científico-tecnológicos ou sociais, compreendendo o significado e a importância da probabilidade como meio de prever resultados;
  • Quantificar e fazer previsões em situações aplicadas a diferentes áreas do conhecimento e da vida cotidiana que envolva o pensamento probabilístico;
  • Identificar em diferentes áreas científicas e outras atividades práticas, modelos e problemas que fazem uso de estatísticas e probabilidades.

O ensino tradicional da matemática que se baseia na apresentação oral do conteúdo pelo docente abordando definições e posteriormente demonstrações de propriedades, exercícios de fixação e de aplicação, tem-se mostrado ineficaz. “É relativamente recente, na história da Didática, a atenção ao fato de que o aluno é agente da construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas”.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) “a resolução de problemas é peça central para o ensino de matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios” (BRASIL, 1997, p. 112).

Para Moura (1992) a união entre jogo e a resolução de problemas está intimamente vinculada à intencionalidade do professor. É possível combinar jogo e resolução de problemas nas séries iniciais; porém, fazer isto é muito mais que uma simples atitude, é uma postura que deve ser assumida na condução do ensino. E assumi-la com vistas ao desenvolvimento de conceitos científicos exige um projeto de ensino, inserido no projeto coletivo da Escola. Fazer isto é dar um sentido humano ao jogo, à resolução de problemas e, sendo assim, à Educação Matemática (MOURA, 1992, p. 51).

Os PCNs destacam que “um aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles provocam no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao professor analisar a potencialidade educativa dos diferentes jogos” (BRASIL, 1997a, p. 49).

Segundo Borin (2004): 

A atividade de jogar, se bem orientada, tem papel importante no desenvolvimento de habilidades de raciocínio como organização, atenção e concentração, tão necessárias para o aprendizado, em especial da Matemática, e para a resolução de problemas em geral. [...] Também no jogo, identificamos o desenvolvimento da linguagem, criatividade e raciocínio dedutivo, exigidos na escolha de uma jogada e na argumentação necessária durante a troca de informações.

                                                           (BORIN, 2004, p. 8)

Considerando o jogo como instrumento de ensino, Moura (1992) os classifica em dois grandes blocos: o jogo desencadeador de aprendizagem e o jogo de aplicação. No primeiro bloco, se o jogo é utilizado para ensinar matemática, esse “deve cumprir o papel de auxiliar no ensino do conteúdo, propiciar a aquisição de habilidades, permitir o desenvolvimento operatório do sujeito e, mais, estar localizado no processo que leva a criança do conhecimento primeiro ao conhecimento elaborado” (MOURA, 1992, p. 47).

“É relativamente recente, na história da Didática, a atenção ao fato de que o aluno é agente da construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas”

5. Considerações finais

Acreditamos que a melhor maneira para realizar o estudo e uso da probabilidade matemática nas escolas urbanas no ensino médio é através de jogos, pois o nível de interesse dos estudantes nos dias atuais é totalmente diferente. Devemos utilizar maneiras pedagógicas, inovadoras e atrativas para passar um conceito adequado para o estudo de probabilidade.

Através das pesquisas realizadas, estudos e o uso no cotidiano, vimos que a probabilidade está extremamente interligada na tomada de decisões. Alunos do ensino médio, em época de vestibular, ENEM, dúvidas de onde, o que e como decidir sobre o seu futuro, usando o conceito da probabilidade pode auxiliar para que as tomadas de decisões sejam mais fáceis e menos dolorosas.

Como aluno e como pesquisador, aprendemos que a probabilidade é um artigo de luxo, nos dias de hoje, pois com ela conseguimos encontrar várias saídas e possibilidades, para problemas do nosso dia a dia, e, assim, podemos ter um respaldo maior nas soluções de várias situações diferentes que vivenciamos.

Nesta pesquisa, aprendemos primeiro que um grupo unido e forte poderá sempre dialogar e pesquisar mais que apenas uma pessoa fazendo sozinha. Sendo assim, várias cabeças pensando chegam a um conhecimento maior e melhor de toda a matéria. Neste caso, trabalhamos com probabilidades diferentes, de acordo com as vivências de cada um e pudemos, com isso, chegar a várias conclusões sobre a mesma matéria focada. As imensas probabilidades que usamos na nossa vida e nem percebemos, tais como: acordar e ver como será a previsão do tempo, a ver como nos vestiremos para tal previsão, entre outras mais.

Com este trabalho aprendemos que a probabilidade de acertos em comum são maiores que as probabilidades de acertos individuais. A probabilidade é muito utilizada em acertos e erros na vida de cada um e nas expectativas que teremos sobre um futuro melhor. A nossa maior probabilidade na vida é conseguirmos acertar em tudo de importante que temos e conseguirmos para sermos pessoas, professores e alunos melhores.

As perspectivas futuras que vemos é que continuando usando a probabilidade em nossas vidas estaremos sempre acertando mais do que errando e isto é o fundamental para a vida de cada um, seja como aluno ou professor. O importante é tomar decisões mais assertivas, através da probabilidade.

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