Max Weber Integral Tripla

Integral Tripla

Aqui simplesmente vou resolver algumas integrais triplas , o procedimento é análogo ao de integral dupla .

Enquanto que na  integral simples pegávamos um elemento dx e integrávamos , em toda a área, na integral dupla pegamos dois elementos dx e dy , como sendo o elemento de área resolvíamos , mantendo uma variável constante e integrando a outra , obtendo o volume . Aqui nós vamos ter  três elementos infinitesimais, dx , dy e dz .

Indicamos . os limites de integração pode ser numéricos, ou funções [pic 1]

Por exemplo

Primeiramente integramos na variavel x

b)[pic 2]

dydx[pic 3]

=[pic 4]

Caímos numa integral dupla  e integramos na variável y

=dz[pic 5]

= + 2+) dz[pic 6][pic 7][pic 8]

Finalmente caímos na integral simples , integramos na variável z

=[pic 9]

[pic 10]

=[pic 11]

b) [pic 12]

Primeiramente , consideramos y e z constantes, fazemos a integração em z

dydx[pic 13]

=[pic 14]

=[pic 15]

Agora,  procede  como em integral dupla

=dx[pic 16]

= +  - -10x³ -  -  - 6x³ - 10x²)dx[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

 +  - -10x³ -  -  - 6x³ - 10x²)dx[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

=[pic 29]

[pic 30]

= – [pic 31][pic 32]

= +    =86/7+372-1631/72 [pic 33][pic 34]

  = [pic 35][pic 36]

Exercicios

1. , sendo a região dada por   0, 1 , 2               [pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]
2. , sendo a região dada por   , 1; 0[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]
3. , sendo a região dada por   , 2;[pic 45][pic 46][pic 47]
4. , sendo a região do primeiro oitante limitado pelas superfícies cilíndricas    , [pic 48][pic 49][pic 50]

1.  [pic 51], sendo G a região limitada pelo tetraedro de vértices O ( 0,0,0), A (1,0,0), B (0,3,0), C ( 0,0,3),

Resolução : A equação do plano será:              [pic 52],  donde tiramos z=3-y-3x

[pic 53]y[pic 54]

       3        [pic 55], y=3-3x[pic 56]

1. x[pic 57][pic 58]

=[pic 59]        [pic 60]dx[pic 61][pic 62]dx

= [-6x[pic 63]=-6+[pic 64]=3/4

...