Montagem Simulada Protheus

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Faculdade Anhanguera de Jundiaí (FPJ)

Cálculo III        

• Integral definida e integral indefinida

Alexandre da Rocha Martins – RA 5212964472 – Eng. Controle e Automação

Bruna Raquel Pereira Pardim – RA 5207956456 – Eng. da Produção

Daniele Jacinto dos Santos – RA 5294110637 – Eng. da Produção

Diego Fernando Queiróz – RA 5823154773 – Eng. Controle e Automação

Izabel Cristina dos Santos Pazin – RA 5294110663 – Eng. da Produção

Shara Helen Conde de Jesus – RA 5825150411 – Eng. da Produção

Valquir Rodrigues – RA 5833178591 – Eng. Controle e Automação

Profº: Maria Angélica

Jundiaí, 25 de novembro de 2013

ETAPA 1

INTEGRAL INDEFINIDA 1.1

Primitiva de uma função Uma função F(x) é chamada primitiva da função f(x) em um Intervalo I, se para todo.

x ∈ I , temos:
F ' ( x) = f ( x)
                         É possível definir que as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando os intervalos não são explícitos e refere-se a duas primitivas da mesma função f(x), entende-se que essas funções são primitivas de f(x) no mesmo intervalo. Exemplo 1: F(x) = x² é uma primitiva de f(x) = 2x, ∫ 2 xdx = 2 x 2 Exemplo 2: F(x) = 3x³ é uma primitiva de f(x) = 9x², ∫ 9 x 2 dx = 3x 3 Porém a mesma função 2x pode ter outras primitivas, por exemplo, F(x) = x²+2..., com isso, é possível concluir que uma mesma função f(x) admite mais que uma primitiva. Para tanto se adota na primitiva de todas as funções +C, mostrando que pode haver alguma constante não considerada na expressão original. De acordo com esta notação o símbolo

∫ 

é chamado de sinal de Integração.

                         O processo que permite achar a Integral Indefinida é chamado de Integração. O símbolo dx que aparece na função a ser Integrada serve para identificar a variável de Integração. Portanto, conclui-se que para calcularmos as primitivas, devemos seguir as instruções descritas abaixo: [ n x ] = x ∗ n x−1
n ∫ x dx = 

x n+1 +C n +1

Assim, demonstramos os cálculos dos exemplos apresentados anteriormente: Exemplo 1:

x 2 = 2 x → ∫ 2 xdx 2∫ xdx

2x2 = x2 + C 2

Exemplo 2:

3x 3 = 9 x 2 → ∫ 9 x 2 dx 9∫ x 2 dx
9x3 = 3x 3 + C 3

1.2 Definição de Integral Indefinida

Todas as primitivas de f(x) são da forma F(x) + C. Para isso, usa-se uma notação para a primitiva geral que parece com uma integral definida, mas sem os limites, ela é chamada de integral indefinida:

∫ f ( x)dx = F ( x) + C
É importante compreender a diferença entre:

∫ f ( x)dx
b

a

e

∫ f ( x)dx

                     A primeira é um número e a segunda é uma família de funções. A palavra “integração” é utilizada, frequentemente, para o processo de encontrar uma primitiva. Em geral, o contexto deixa claro qual o processo está em consideração.

1.3 Teorema da Função Constante

Se f é constante em um intervalo, sabe-se que f’(x)=0 nesse intervalo> Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). Se f’(x)=0cm (a,b), então f é constante em [a,b]. Quando tem-se f’(c)=0, significa que f(x1)-f(x2)=0, logo, f(x1)=f(x2) para a≤ x1< x2≤b, de modo que a função é constante.

1.4 Função polinomial 

Função polinomial é quando existe mais que um termo a ser integrado, ou seja, que a função a ser integrada possui alguma operação matemática, abaixo é apresentado um exemplo de uma função polinomial, no qual existe uma soma a ser integrada: Exemplo:
3 ∫ x + 2 x + 3dx = 

x4 + x 2 + 3x + C 4


1.5 Expoente da função polinomial diferente de -1 

O expoente na função polinomial deve ser diferente de -1, pois se fosse igual a 1 o

x0 resultado seria , isso pode ser verificado através da diferenciação, conforme apresentado 0
abaixo:

d x n+1 (n + 1) x n ( )= = xn dx n + 1 n +1
Na notação de integral indefinida, mostra-se que:
n ∫ x dx = 

x n+1 + C , n ≠ −1 n +1 x −1+1 x0 = =∉ −1+1 0

Pois, se calcular o expoente n=-1, teria:
−1 ∫ x dx = 

1.6 Propriedades da Integral Indefinida: 

Somas e Múltiplos Constantes As integrais indefinidas possuem algumas propriedades, segue abaixo as fundamentais: 1ª Uma primitiva da soma (ou diferença) de duas funções é a soma (ou diferença) de suas primitivas:

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
Exemplo:
2 2 ∫ x + 2dx = ∫ x dx + ∫ 2dx = 

x + 2x + C 3



2ª Uma primitiva de uma constante vezes uma função é a constante vezes uma primitiva da função:

∫ cf ( x)dx = c∫ f ( x)dx
Exemplo 2:
3 3 ∫ 4 x dx = 4∫ x dx = 

4x4 = x4 + C 4