EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TRANSCENDENTES MÉTODOS DE RESOLUÇÃO

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TRANSCENDENTES

MÉTODOS DE RESOLUÇÃO

Dada uma função f(x), se x  é uma raiz da equação f(x) = 0 então f( x ) = 0 e x  é o ponto onde o gráfico de f(x) cruza – se com o eixo x[pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4][pic 5]

[pic 6][pic 7]

[pic 8][pic 9]

Para equações algébricas de 1º e 2º graus obtemos a(s) raiz(es) através de fórmulas prontas. Entretanto para equações com grau n > 2 ou equações transcendentes: sen x, cos x, ln x, ex, etc, é necessário que se procurem métodos aproximados para descobrir as raízes das equações. Convém salientar que o valor exato x da raiz aproximada x  nunca será encontrado. Vamos sempre chegar tão próximo de x quanto necessário.[pic 10]

É fato que sempre cometeremos um erro, dado por:

                                       

                                     ξ = | x – x | , onde x = x ± ξ          ξ = 0,01[pic 11][pic 12]

                                                                                          ξ = 0,001

                                                                                          ξ = 0,0001                                                              

                           

                       x = valor exato da raiz

                       x = valor aproximado da raiz[pic 13]

Inicialmente obtemos o intervalo onde se encontra o valor de x da raiz, através do método gráfico e como uma 1ª aproximação, obtemos a média aritmética dos pontos desse intervalo: x0 = [pic 14][pic 15]

Teorema de Bolzano: “Se f(x) é contínua num intervalo [a,b] e f(a) e f(b) tem sinais contrários, então      uma raiz x  em [a,b].”  [pic 16][pic 17]

 [pic 18][pic 19]

                                   f(a) . f(b) < 0                    [pic 20][pic 21]

                                                                           

1. Método da Dicotomia 

  Exemplo :    x ²  –  sen x = 0       ξ ≤ 0,01

 

Solução:  

1º Passo: Obter graficamente o intervalo [a,b] onde esta  situado x [pic 22]

                    f(x) = x ²  –  sen x = 0            x ² = sen x[pic 23][pic 24]

                               [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

     [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

x   x ²            x   sen x                       [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

0          0               0    0

1   1            0,5   0,47

2                4               1   0,84

    -1   1            1,5   0,99      [pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

    -2   4           -0,5  -0,47[pic 46][pic 47]

                          -1   -0,84[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

[pic 53]

Teorema de Bolzano:

f(x) = x ²  –  sen x

f(ai) = f(0,1) = 0,1²  –  sen 0,1      < 0 [pic 54]

f(bi) = f(1) = 1² – sen 1              > 0[pic 55]

1ª aproximação: x0 = (0 + 1)/2 = 0,5

2º Passo: Pelo Teorema de Bolzano, comprovamos que a raiz esta situada  entre [0,1]