Análise Matemática

Questões: Módulo 1

(1) Uma seqüência representa um conjunto de valores ordenadas que normalmente possuem uma propriedade que pode ser escrita por um função matemática. Indicando do a(n) a posição de um termo com n  1, assinale a alternativa de que representa uma seqüência de número positiva ímpares.

R: a(n) = 2n – 1

Justificativa: Exemplo: A (n) = 2.1-1 = 1, A (n) = 2.2-1 = 3, A (n) = 2.3-1 = 5 é assim por diante, a seqüência vai seguir com números positivos e impares.

(2) A famosa seqüência de Fibonacci é definida pela recorrência ak+1 = ak + ak-1 sendo a1 = a2 = 1. Os 7 primeiros termos da sequência de Fibonacci são:

R: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13

Justificativa: Indicando o primeiro termo da seqüência por a(1) = 1, o segundo a(2) = 1, o terceiro a(3) = 2 e assim por diante.

(3) 1; 1; 2; 3; 5; 8;.................

Esta sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa (seculo XII), também conhecido como Fibonacci (Filho de Bonaccio), para descrever o crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem o número de casais em uma população de coelhos depois de nmeses se for suposto que: no primeiro mês nasce apenas um casal, casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida, não há problemas genéticos no cruzamento consangüíneo, todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e os coelhos nunca morrem. Mais tarde, outros matemáticos estudaram a sequência e observaram que ela estava presente em outros fenômenos naturais. Dentre eles destacamos as seguintes áreas da ciência em que ela é empregada: Na Reflexão de raios luminosos; No estudo de certas plantas e animais; Na geometria, no cálculo da secção áurea. Como fruto desses estudos foi demonstrado várias propriedades, tais como a da soma dos seus termos: S(n) = a(n + 2) – 1

Indicando o primeiro termo da sequência por a(1) = 1, o segundo por a(2) = 1, o terceiro por a(3) = 2 e assim por diante. A indicação para o n-éssimo termo é:

R: a(n) = a(n-2) + a(n-1) para n > 2

Justificativa: recorrência ak+1 = ak + ak-1 sendo a1 = a2 = 1.

(4)

A expressão acima é o termo geral de uma sequência infinita. Seu n-éssimo termo vale:

R: Zero

Justificativa:

(5)

Uma sequência é definida pela expressão acima, para n ³ 1. A soma dos 50 primeiros termos desta sequência é:

R: 25

Justificativa:

Questões: Módulo 2

(1)

A expressão matemática acima define uma sequência infinita. Analisando os termos desta sequência quanto a sua convergência ou divergência podemos afirmar que:

R: a sequência é convergente porque seu último termo tende para 2.

Justificativa: O último termo tende para 2 então se 2 maior que 1 Converge.

(2)

A expressão