Números Complexos

CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

QUESTÕES DISCURSIVAS (Parte 01)

Professor Marcelo Renato M. Baptista

1) (Fuvest-SP/2003) Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a unidade imaginária .

Suponha .

a) Para que valores de z tem-se ?

b) Determine o conjunto de todos os valores de z para os quais é um número real.

2) (Fuvest-SP/2000 - modificada)

a) Determine todas as soluções, no campo complexo, da equação , onde i é a unidade imaginária, isto é, e é o conjugado de .

b) Represente essas soluções no plano complexo.

3) (Unicamp-SP/2004) Dada a equação polinomial com coeficientes reais .

a) Encontre o valor numérico de de modo que o número complexo 2 + i seja uma das raízes da referida equação.

b) Para o valor de encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação.

4) (FGV-SP/2004 modificada) O polinômio é divisível por .

5) (FGV-SP/2004 – modificada) Resolva a equação no conjunto dos números complexos.

6) (UFSCar–SP2007) Considere a equação algébrica , na variável x, com .

a) Determine k = a + b.i, com a e b reais, para que o número complexo 2i seja uma das raízes da equação.

b) Determine todas as raízes da equação quando k = 5.

7) (UFBA/2004) Considerando o polinômio mostre que é uma raiz de p(x), que, juntamente com as demais raízes satisfaz à equação .

8) (Unesp 2006) Seja z = 1 + i um número complexo.

a) Escreva z e z³ na forma trigonométrica.

b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de menor grau, que tem z e | z |² como raízes e coeficiente dominante igual a 1.

RESPOSTAS

1) a) D1 b) Conjunto dos números complexos z de módulo igual a 1, exceto z = i.

2) a)

3) a) . D3 b) .

4)) As raízes de P(x) = 0 são 1/3 , 1 , 3 + 2i e 3 – 2i.

5)

6) a) D6) b) 1, 4, i e – i.

Figura 2 b)

7) Vide resolução.

8) a) e .

8) b)