Os números no complexo electrónico

NÚMEROS COMPLEXOS EM ELETRÔNICA

É uma forma na qual se inclui ângulo de fase e magnitude de uma ou mais grandezas.

Uma expressão complexa compreende uma parte real e uma parte imaginária, conforme mostra a figura abaixo.

j é um operador que varia de 0º a 360º, em ângulos de 90º.

O ângulo de 90º é de grande importância na análise de circuitos AC.

1) + 4 indica 4 unidades a 0º

2) - 4 indica 4 unidades a 180º

3) j4 indica 4 unidades a 90º

Como j é um operador a 90º, isto significa que em 180º ele é repetido 2 vezes, em 270º é repetido 3 vezes e assim por diante.

RESUMINDO

0º = 1

90º = + j

180º = j2 = - 1

270º = j3 = j2. j = - 1. j = - j

360º = 0º = 1

A expressão complexa deve ser escrita da seguinte forma: parte real  parte complexa onde j é sempre escrito antes do número. Exemplo:

4  j2

RELAÇÃO DO FASOR COM A FORMA RETANGULAR

3 representa um número real ( neste caso uma resistência de valor igual a 3);

o ângulo de 90º ou +j é usado para representar XL (4);

portanto: Z = 3 + j4

como no caso anterior, 3 representa uma resistência no valor de 3;

o ângulo de - 90º ou - j é usado para representar XC (4);

portanto: Z = 3 - j4

Podemos então representar circuitos na forma complexa retangular conforme exemplos abaixo:

Z2 = R2 + XL2

Z = 8 + j5 Z2 = R2 + XC2

Z = 10 - j6

IT2 = IR2 + IC2

IT = 1 + j3 IT2 = IR2 + IL2

IT = 1 - j3

O operador j indica uma relação de fase diferente de zero entre a parte real e a parte imaginária.

Tomemos como exemplo impedâncias:

Se R = 0 e XC = 10  Z = 0 - j¬10

Se R = 10 e XC = 0  Z = 10 - j0

Se R = 0 e XL = 10  Z = 0 + j10

Se R = 10 e XL = 0  Z = 10 + j0

Vejamos alguns exemplos abaixo de circuitos mais complexos:

ZT = (9 + j6) + (3 - j2)

ZT = 12 + j4

ZT =

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS

I - ADIÇÃO OU SUBTRAÇÃO:

Soma-se ou subtrai-se a parte real e a parte imaginária ( j ) separadamente:

a) (9 + j5) + (3 + j2)  (9 + 3) + (j5 + j2) = 12 + j7

b) (9 + j5) + (3 - j2)  (9 + 3) + (j5 - j2) = 12 + j3

c) (9 + j5) + (3 - j8)  (9 + 3) + (j5 - j8) = 12 - j3

II - MULTIPLICAÇÃO OU DIVISÃO DE UM NÚMERO IMAGINÁRIO ( termo j ) POR UM NÚMERO REAL

Basta multiplicar ou dividir, conforme exemplos abaixo:

a) 4 . j3 = j12 d) j12  3 = j4 g) j3  4 = j0,75

b) j5 . 6 = j30 e) -j30 -6 = j5 h) 1,5 . j2 = j3

c) j5 . -6 = -j30 f) j30  -6 = -j5 i) 4 . j0,75 = j3

III - DIVISÃO DE UM NÚMERO IMAGINÁRIO POR UM NÚMERO

IMAGINÁRIO ( divisão de um termo j por um termo j )

A divisão produzirá um número real ( as partes imaginárias ou os termos j se cancelarão), conforme exemplos abaixo:

a) j12  j3 = 4 c) - j12  j3 = - 4 e) - j30  - j5 = 6

b) j30  j5 = 6 d) j30  - j6 = - 5 f) - j15  - j3 = 5

IV- MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO IMAGINÁRIO POR UM NÚMERO IMAGINÁRIO ( multiplicação de um termo j por um termo j )

Multiplica-se o número e o operador j. A multiplicação dos termos j produzirá j2. Veja os exemplos abaixo:

a) j3 . j4 = j . j = j2 = j2(3 . 4) = -1(12) = -12

b) j3 . - j4 = j . - j = - j2(3 . 4) = -(-1)(12) = 12

V - MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Basta seguir as regras da álgebra (propriedade distributiva), conforme mostra o exemplo abaixo:

a) (9 + j5) . (3 - j2)

= 27 + j15 - j18 - j210  observe que j2 = -1

= 27 - j3 + 10

= 37 - j3

VI - DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

A divisão de um número real por um número complexo não é possível.