Paper História dos Números Complexos

NÚMEROS COMPLEXOS

História, Conceitos e Aplicações

Natália Jacobsen Klumb

Tutora Externa Viviane Wegner Garcia

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Licenciatura/Matemática (MAD0313) – Seminário da Prática III

06/06/2016

1 RESUMO

Os números complexos, nesse caso, mais especificamente a parte onde se estuda sua história e conceitos, com seus relatos e sua trajetória cronológica, foi passando por diversos matemáticos e estudiosos ao longo dos anos desde o século XVI onde os mesmos buscavam por uma forma de tentar resolver tais equações de uma forma “perfeita e correta” para cada um, por  mais de 300 anos. Atualmente, não podemos dizer que os próprios educadores ainda conseguem seguir essa mesma visão na aprendizagem, pois essa parte da matemática não é tão aprofundada na maioria dos locais de ensino nos dias atuais, talvez pela falta de tempo e pelo número excessivo de diferentes outros conteúdos a serem trabalhados. Mas há algumas áreas onde a aplicação dos números complexos é mais específica e mais considerada, esta maior aplicação se encontra, por exemplo, na área da ciência e tecnologia, respectivamente na engenharia elétrica e aerodinâmica.

Palavras-chave: Números complexos. Trajetória cronológica. Aprendizagem.

2 INTRODUÇÃO

Os números complexos estão presentes nos mais inúmeros e variados campos de estudo, não só da Matemática, mas também da Ciência e da Tecnologia, desde a engenharia elétrica, aerodinâmica até a teoria da relatividade. Porém, a história dos números complexos não é tão levada em conta na hora da aprendizagem, como os conceitos e suas fórmulas. Tendo em vista esta lacuna gerada pela carência de tempo na aprendizagem, surge a necessidade de apresentar a origem e o surgimento dos números complexos, não esquecendo de relatar seus conceitos e aplicações no cotidiano.

3 FUNTAMENTAÇÃO TEÓRICA        

        A história dos números complexos surge na Antiguidade, quando matemáticos tiveram a necessidade de encontrar a raiz quadrada de um número negativo, porém quando se deparavam com esta situação mencionavam a mesma como impossível. Porém, por volta do século XVI na Itália, a disputa entre Cardano e Tartaglia foi o marco para o surgimento da forma de resolver não somente as equações quadráticas de raiz negativas, mas principalmente as equações cúbicas.

Não havia como negar que os números reais eram insuficientes para se tratar de equações algébricas. O que estava acontecendo no século XVI era semelhante ao que ocorreu no tempo dos gregos antigos, quando se verificou a insuficiência dos números racionais com a construção do numero √ 2, que não era racional: o conceito de numero precisava ser estendido. ( CERRI, Cristina; MONTEIRO, Martha, 2001)

        Consta que, Scipione del Ferro, um matemático italiano, encontrou uma forma geral de resolver equações do tipo ax3+ cx + d = 0, mas morreu sem publicar sua descoberta. Antônio Maria Fior, aluno do matemático citado, conhecia a fórmula e tentou ganhar fama propondo um desafio a Tartaglia, Fior saiu humilhado, pois o desafiado deduziu a resolução para o caso, supondo que a solução procurada era do tipo x = A + B. Neste momento surge Cardano na história, que ao saber que Tartaglia havia encontrado a fórmula para a equação x3+ cx + d = 0, insistiu até que a mesma fosse revelada, mas alegando que não iria revela-la como já era de se prever, Cardano quebrou a promessa publicando a fórmula em seu livro Ars Magna, fazendo com que a descoberta de Tartaglia seja conhecida até hoje como “Fórmula de Cardano”.

        Questões surgiram sobre a resolução encontrada utilizando a Fórmula de Cardano (Tartaglia), então Rafael Bombelli, engenheiro hidráulico nascido em Bolonha, Itália, que conseguiu atravessar a barreira e chegar aos novos números. A ideia de Bombelli foi de operar com a forma a+b√i, com as mesmas regras usadas com números reais, acrescentando a propriedade     (√-1)2= -1, para conseguir resolver a equação. Porém, os números complexos não foram aceitos naturalmente, pois não havia significado geométrico em uma raiz de número negativo.

        Haviam questões que precisavam ser respondidas, Leonhard Euler foi quem pôs o ponto final nas mesmas, mostrando que as equações do tipo zn = w tinham n soluções em , os matemáticos passaram a acreditar que toda equação de grau n deveria ter n raízes complexas. Logo após, o matemático Caspar Wessel, introduziu a representação geométrica dos números complexos, mas sua obra foi quase totalmente desconhecida, Jean Robert Argand modernizou-a anos depois e foi quem levou o mérito pela representação. [pic 1]

Entretanto, Carl Friedrich Gauss, um jovem matemático, provou que a prova de Euler era insatisfatória. Segundo Gauss (1799) “Toda equação polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, pelo menos, uma raiz complexa.”, com este teorema o resultado sobre equações algébricas finalmente foi provado.

FIGURA 1 – CARL FRIEDRICH GAUSS

[pic 2]

FONTE: Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo>.  Acesso em 11 mai. 2016.

Após estas “causalidades” na história dos números complexos (primeiramente chamados de sofísticos), surgiram seus conceitos e aplicações nas mais variadas áreas do conhecimento, estes são abordados com maior frequência no ambiente de aprendizagem.

Os números complexos formam o maior conjunto numérico existente, pois abrange o conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e os mesmos (números complexos), como é apontado na figura abaixo.

FIGURA 2 – CONJUNTOS NUMÉRICOS

[pic 3]

FONTE: Disponível em: . Acesso em: 11 mai. 2016.

        Como já mencionado, a unidade imaginária é indicada pela letra “i”, de modo que i2=i.i= -1. Por isso a denominação “imaginário”, pois não existe número real que elevado ao quadrado resulte em um número negativo. A partir deste ponto, parte-se para alguns conceitos básicos dos números complexos, lembrando que os mesmos costumam ser indicados por “z”.