Teste De Hipótese Para Proporção

12. Teste de hipótese para proporção

12.1 Teste para proporção

Muitas vezes existe o interesse em testar hipóteses sobre a proporção p de elementos que apresentam certa característica.

De modo geral, podemos testar a hipótese da nulidadede (Ho) que a proporção é igual a um certo valor p0:

contra uma das hipóteses alternativa (H1) :

A escolha de uma dessas hipóteses alternativas se dá através das informações disponíveis a respeito do assunto. Além disso, precisamos definir o nível de significância (probabilidade de cometer erro tipo I isto é, a probabilidade de rejeitar a hipótese da nulidade quando deveríamos aceitar – a proporção é diferente de certo valor quando na verdade ele é igual a esse valor). Geralmente é fixado em 5%.

O caso (a) é denominado teste bilateral onde testamos:

Nesse caso, temos duas regiões de rejeição da hipótese H0 (áreas em cinza na figura abaixo). Utilizamos a seguinte regra de decisão:

- rejeita-se quando zcalculado  zcritico ou zcalculado < -zcritico (área em cinza)

- aceita-se quando: -zcritico < zcalculado < zcritico

O valor crítico zcritico para um teste bilateral é obtido a partir da tabela da distribuição normal Com um nível de significância igual a 0,05 (5%) temos z crit = 1,96 obtemos da seguinte forma

O caso (b) corresponde ao chamado teste unilateral (á direita) onde testamos:

Nesse caso, temos uma região de rejeição da hipótese H0 (área em cinza na figura abaixo). Utilizamos a seguinte regra de decisão:

- rejeita-se quando zcalculado > zcritico (área em cinza)

- aceita-se quando zcalculado < zcrítico

O valor crítico zcritico para um teste unilateral (à direita) é obtido a partir da tabela da distribuição normal. Com um nível de significância igual a 0,05 (5%) temos z crit = 1,64.

O caso (c) corresponde ao chamado teste unilateral (à esquerda) onde testamos:

Nesse caso utilizamos a seguinte regra de decisão:

- rejeita-se quando zcalculado < -zcritico (área em cinza)

- aceita-se quando: zcalculado >-zcritico

O valor crítico zcritico para um teste unilateral (à esquerda) é obtido a partir da tabela da distribuição normal. Com um nível de significância igual a 0,05 (5%) temos zcrit = 1,64. Como o teste é unilateral à esquerda. o valor será negativo: zcrit = -1,64

A estatística zcalculado é calculado da seguinte maneira:

n: tamanho da amostra

p0 : valor da proporção sob H0 e q0 =1 - p0

12.1.1 Um exemplo de teste (bilateral) para proporção.

Para ilustrar, consideremos o exemplo a seguir, onde pretendemos verificar se a proporção de alunos favoráveis à mudança no currículo de seu curso:

Exemplo: Uma entidade estudantil afirma que 80% dos alunos de um faculdade são favoráveis à mudança no currículo de seus cursos. Para verificar essa afirmação, um pesquisador entrevistou 120 alunos dos quais 90 disseram ser favoráveis à mudança no currículo. Ao nível de significância de 5%, a afirmação de tal entidade é verdadeira?

No exemplo: n = 120 alunos entrevistados x=90 alunos favoráveis

p0=0,80 (80% favoráveis à mudança); nível de significância de 5% => 0,05

Nesse caso queremos testar a hipótese:

, proporção de favoráveis igual a 80% ou não(diferente de 80%)

Temos n=120 (amostra de alunos) dos quais x=90 são favoráveis. A estimativa da proporção de favoráveis na amostra é igual a

Como: p0=0,80 e q0=1-p0 = 1-0,80 = 0,20

Temos:

Logo o valor da estatística é igual a:

Calculado o valor da estatística -1,373, comparamos com o valor crítico obtido na tabela da distribuição normal, com o nível de significância fixado em 5%. Como o teste é bilateral, dividimos o nível de significância (0,025 à esquerda e 0,025 à direita). Como a área acima de z é igual a 0,025, subtraindo de 0,5 temos uma área igual a 0,4750. Procurando na parte interna da tabela encontramos o valor 0,4750 que corresponde a um valor de z igual a 1,96 (linha 1,9 e coluna 6).

Tabela da Distribuição Normal Área sob a curva normal padronizada de 0 a z

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

Como o teste é bilateral, temos os valores críticos 1,96 e -1,96 (por simetria)

Como z calculado = -1,373, aplicando a regra de decisão temos:

-zcritico=