Equação De Uma Circunferência

Problema

Encontre as coordenadas do centro C e o tamanho do raio r da seguinte circunferência, x^2+x+y^2+y=1/2

Dica: Completar os binômios quadrados tanto das variáveis x e y, seguidamente e identificar o valor da constante "a" arrumar em forma de quadrados perfeitos e obter assim a equação da circunferência de forma clara para poder identificar as coordenadas do centro C e o tamanho do seu raio.

Solução

Primeiramente devemos completar os quadrados perfeitos paras as duas variáveis x e y, ou seja, copiamos a equação geral dada por,

x^2 + x + y^2 + y = 1/2

Agora bem, para x temos que completar o quadrado perfeito e identificar a constante "a", veja,

x^2 + x = (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2

Aqui igualamos os coeficientes dos termos lineares da seguinte forma,

1 = 2a então, a = 1/2

O que nós permite escrever,

x^2 + 1/2x + 1/4 - 1/4 = (x + 1/2)^2 - 1/4

É necessário somar e subtrair 1/4 para completar o quadrado perfeito.

Coincidentemente, a mesma situação acontece com a variável y, geralmente poderia ser completamente diferente o quadrado perfeito da variável y, então procedemos como anteriormente e obtemos,

y^2 + 1/2y + 1/4 - 1/4 = (y + 1/2)^2 - 1/4,

Levando estes dois resultados para a equação geral, temos,

(x + 1/2)^2 - 1/4 + (y + 1/2)^2 - 1/4 = 1/2

O que pode ser escrito assim,

(x + 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 - 1/2= 1/2

(x + 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 = 1/2 + 1/2

(x + 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 = 2/2

Finalmente, obtemos a equação de uma circunferência de forma clara, dada por,

(x + 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 = 1

Agora sim estamos em condições de identificara as características da circunferência de forma direta da seguinte forma.

O centro C da circunferência está no ponto de coordenadas C=(1/2,1/2) e o raio da mesma tem um comprimento igual a r=1.