A Análise de Tensões e Deformações

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Universidade Federal do Ceará

Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental

Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil – Área de Concentração: Geotecnia

Disciplina: Análise de Tensões e Deformações

Prof. Dr. Silvrano Adonias Dantas Neto

1ª Lista de Exercícios

1. Considere uma transformação ortogonal consistindo de uma rotação de 30º dos eixos xyz em relação ao eixo z, como mostrado na figura seguinte.

a) Determine a matriz de cossenos diretores A;

b) Verifique a ortogonalidade da matriz de cossenos diretores (linhas e colunas);

c) Determine o traço da matriz A.

[pic 3]

2. Determine, por qualquer metodologia, os cossenos diretores que definem um sistema x’y’z’ em relação ao sistema de referência xyz, sabendo-se que o vetor que define o eixo z’ é definido como:

[pic 4]

3. As componentes de tensões atuantes em planos ortogonais aos eixos xyz em um determinado ponto são:

σx = 1000 psi	τxy = 200 psi
σy = -600 psi	τxz = 0 psi
σz = 0 psi	τyz = -400 psi

Assumindo que as tensões de cisalhamento com índices alternados são iguais, determine a tensão normal e a tensão cisalhante atuantes num plano cujo vetor normal é dado por:

[pic 5]

4. Imagine uma distribuição de tensões uniformes sobre todo o corpo mostrado na figura seguinte, ou seja, σx, σy, τxy, τxz e τyz são iguais. Qual a implicação desta uniformidade para as tensões atuantes em faces paralelas do corpo em diferentes pontos? Suponha que as tensões atuantes sejam:

σx = 1000 psi	τxy = 0 psi
σy = -1000 psi	τxz = 500 psi
σz = 1000 psi	τyz = -500 psi

Determine a tensão normal atuante sobre um plano ABCD do paralelepípedo mostrado na figura seguinte.

[pic 6]

5. Considere o seguinte estado de tensões atuante em um ponto P em um corpo qualquer:

S = [pic 7] (kPa)

Determine:

1. As direções principais e as tensões principais;
2. O círculo de Mohr para o ponto P;
3. As tensões octaédricas normais e de cisalhamento;

6. Os eixos xyz são transformados nos eixos x’y’z’ por meio de uma rotação de 30ª em relação a linha AO que forma ângulos iguais a α com os eixos x, y e z, como pode ser visualizado na Figura seguinte. Usando o seguinte tensor de tensões, determine todas as tensões normais e cisalhantes atuantes nos planos x’, y’ e z’:

[pic 8]

S = [pic 9] (kPa)

7. Seja o seguinte campo para o tensor de tensões:

S = [pic 10] (kPa)

Determine qual a distribuição de forças externas necessária para manter o equilíbrio do corpo. Considere x, y e z em cm.