A CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE FUNÇÕES INVERSAS COM AUXÍLIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

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INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

NÚCLEO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM ENSINO DE MATEMÁTICA

PROFESSORA: GISELA PINTO

OFICINA:

CONSTRUÇÃO E ANÁLISE DE FUNÇÕES INVERSAS COM AUXÍLIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

Adriano Zarlam Peixoto de Oliveira

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Agatha Cristina de Almeida Santos

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Luan Fonseca Cirino

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Marianna Del’ Secchi Sypnievski

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Oficina proposta como exigência para aquisição de horas de atividade acadêmica para o NEPE Softwares Educacionais, sob a supervisão da Professora Gisela Pinto.

Seropédica

2017-1

Introdução

Esta oficina permite um fácil entendimento das funcionalidades do GeoGebra como ferramenta de ensino. Nas páginas subsequentes, esclareceremos o tema: “Função Inversa”, elaborando assim estruturas matemáticas, de forma didática, para o entendimento de sua construção.

1. Funções inversas

Seja f uma função dada por f:A→B, podemos definir a função inversa de f como a função que inverte os elementos de f, ou seja, uma função definida por f:B→A, denotada por f-1. Considerando que f seja uma transformação, o objetivo da função inversa é desfazer tal transformação de f. Lembrando que para uma função admitir inversa, ela precisa ser bijetora (o conceito de bijeção deverá ser trabalhado no desenvolvimento da oficina).

O gráfico de uma função inversa possui simetria em relação à reta y=x, então uma maneira simples de se encontrar a f-1, é fazendo a reflexão de f em torno dessa reta, o resultado obtido será o gráfico da inversa de f. Para encontrar a f-1 algebricamente basta isolar o x na função e em seguida trocar x por y.

Exemplo: y = 3x+5

1)Isolando o x:   3x = y – 5   ↔    x = [pic 2]

2)Trocando x por y:     y = [pic 3]

A seguir veremos outros métodos de se obter a inversa de uma função.

2. Construção de funções inversas no GeoGebra.

Para tal construção, escolhemos a função y= ex como exemplo, e usaremos algumas ferramentas do GeoGebra para encontrar a sua inversa. Abra a tela do GeoGebra e insira no campo de entrada a função “y=e^x”, como na imagem a seguir. Em seguida, faça o mesmo para a reta “y=x”.

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Figura 1: Campo de entrada

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Figura 2 – Funções y=ex e y=x no GeoGebra.

Em seguida, escolha um ponto A qualquer na função y=ex e trace uma reta perpendicular à y=x passando por esse ponto A. Selecione o comando Reflexão em Relação à uma Reta e faça a reflexão de A em relação à reta y=x, gerando o ponto A’. Nossa construção está praticamente pronta. Habilite o rastro de A’, e anime o ponto A.

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Figura 3 – Construção da f-1 de y=ex no GeoGebra.

O rastro deixado pelo ponto A’ é exatamente o gráfico da função inversa de y=ex. Verificando algebricamente, chegamos a y=ln(x), confirmando nossa hipótese. Isso acontece, pois construímos A’ como reflexão de A em torno de y=x, ou seja, os pontos A e A’ equidistam de tal reta, e dessa forma, ao habitar o rastro de A’ enquanto A se move, foram gerados todos os possíveis pontos que também satisfazem essa construção, gerando assim, a inversa de f.

3. Análise do grafico das funções inversas no Geogebra

Seguindo com o exemplo de y=ex ,vamos agora traçar retas perpendinculares aos eixos coordenados, da seguinte forma: no ponto A, trace uma reta perpendicular ao eixo x e outra ao eixo y, em seguida repita esse processo para o ponto A’. [pic 7]

Figura 4 – Retas perpendiculares passando pelos pontos A e A’.

Se movermos o ponto A, todas as retas perpendiculares se movem e podemos observar um polígono regular que é o quadrado, com diferentes lados para cada valor da função. Para ficar melhor a visualização, procure, no menu de botões, a figura [pic 8], clique e escolha a opção “Interseção de Dois Objetos”. Agora, clique na reta k e depois na reta i. Faça o mesmo para as retas h e j. Fazendo isso estamos achando os pontos de interção entre essas retas e esses pontos pertencem à y=x. Bom, estamos quase finalizando nosso polígono regular; antes disso,  vá até o menu de botões, clique em [pic 9] e após isso clique na opção “Polígono Regular”. Clique nos pontos B e A’. Aparecerá uma janela como essa abaixo que pede para entrarmos com o número de lados do polígono.

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