APLICAÇÃO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS

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TRANSFERÊNCIA DE CALOR 1

Aplicação método de diferenças finitas

Aluno: Wendell Carvalho

Ra: 1769448

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O estudo dos fenômenos de transporte de calor compreende uma das áreas fundamentais da engenharia. Essa importância se deve devido aos diversos processos e aplicações que utilizam energia em trânsito.

Problemas que envolvem transferência térmica causada por uma diferença de temperatura entre duas regiões em um mesmo meio podem ser representados por equações diferenciais parciais. Essas equações são denominadas equações do calor, e determinam a distribuição de temperatura em um corpo.

As equações diferenciais parciais são de grande importância na engenharia, pois através dessas expressões podemos determinar o comportamento futuro de diversos problemas, com base na variação dos valores presentes. Porém, a resolução de uma equação diferencial parcial pode ser complexa, o que dificulta ou até mesmo impossibilita a obtenção das soluções exatas pelos métodos analíticos existentes.

Os métodos numéricos para resolver equações diferenciais, baseiam-se na substituição das equações diferenciais por equações algébricas. No caso do método popular de diferenças finitas, isso é feito através da substituição das derivadas pelas diferenças finitas. Diferente do método analítico o qual é possível abranger todo o meio, a solução numérica se retém a obter resultado somente em alguns pontos que estão contidos na área de interesse, esses pontos são também conhecidos como nós ou ponto nodal.

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Fig 1: Malha de diferenças finitas para condução bidimensional em coordenadas retangulares.

[pic 3]Fonte: Incropera

Fig 2: Esquema para o desenvolvimento da equação de diferenças finitas.

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Devemos ter em mente que, os gradientes de temperatura podem ser representados como função das temperaturas nodais, porém para esta atividade, não vamos nos atentar a demonstrações algébricas de deduções de fórmulas.

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A equação acima é uma expressão algébrica aproximada, que se obtém como resultado a partir de uma equação diferencial exata, onde se torna possível descrever a temperatura em cada nó interno da malha de diferenças finitas de um sistema bidimensional em estado estacionário, pela média dos quatros nós vizinhos equidistantes a ele. É importante salientar que os nós de contorno não exercem nenhuma influência nos resultados obtidos através da equação 3.6 (Çengel & Ghajar, 2012, p. 301).

PROBLEMA

Uma barra com 30 cm de comprimento, foi isolada termicamente em ambos os lados de modo a não trocar calor com o ambiente externo. Inicialmente, as extremidades dessa barra foram mantidas a 20 °C e 50 °C.

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A função que rege a variação de temperatura interior da barra é dada por , para 0 < x < 30 e a e a difusividade térmica é . Supondo que a transferência de calor só ocorra na direção x, do eixo da barra, para determinar o comportamento da condução de calor em diversos momentos de tempo e comprimento da barra, utilizaremos o método das diferenças finitas para obtenção da solução aproximada do problema.[pic 7][pic 8]

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