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Resolvendo a integral do volume para coordenadas cilindricas temos que:

a) [pic 1].

b) [pic 2].

Sendo assim, o cilindro C simplesmente se torna uma integral de 0 ao seu raio que é k/2.

E a paraboloide P se torn:

[pic 3]

Pois em coordenadas cilindricas:

[pic 4]

[pic 5]

Assim montando a nossa integral de volume, temos que:

[pic 6]

Agora vamos explicar a composição desta integral:

Primeiramente a integral de dentro é em z, que o limite é dado pelo plano z=0 e superiormente é militado pelo paraboloide P, por isso o limite superior é k-r².

Segundo a integral do meio é em r, que vai de 0 a k/2, pois o raio máximo é o raio do cilindro que é k/2.

E finalmente o angulo vai de 0 a 90º, pois só queremos o primeiro octante do gráfico.

OPS: E dentro da integral tem um r multiplicando, pois é o Jacobiano de coordenadas cilindricas.

Agora podemos fazer este cálculo:

a) Determine o volume da região S descrita anteriormente, por meio do cálculo de integrais triplas, explicando, com detalhes, as informações e cálculos necessários para a resolução desse problema.

[pic 7]

Resolvendo esta integral:

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

E este é o volume desta região:

[pic 14]

b) Se a densidade da região for descrita por uma constante C, qual será a massa de S? Como podemos relacionar o cálculo da massa com os procedimentos empregados no item A para investigação do volume de S? Justifique sua resposta.

Se a densidade é constante, basta multiplicar a densidade pelo volume que teremos a massa, pois esta é a definição de densidade.

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]