Levantamento Topográfico - Unicamp - Trabalho Acadêmico

MA092 - Geometria plana e anal tica - Segundo projeto

Levantamento topogra co

Francisco A. M. Gomes

Outubro de 2014

• Descric~ao do projeto

Nessa atividade, vamos usar a lei dos senos e a lei dos cossenos para desenhar um mapa topogra co, e para calcular a area e o per metro de uma regi~ao delimitada em um terreno. Para tanto, vamos supor que as medidas do terreno tenham sido coletadas com o aux lio de um teodolito, que e um aparelho usado em topogra a.

O teodolito e composto, basicamente, por um telescopio que pode ser girado em torno de dois eixos perpendiculares, um horizontal e outro vertical. Usando o telescopio para mirar pontos diferentes, e medindo os ^angulos entre eles, podemos determinar as coordenadas no plano e a altura desses pontos. Apesar de existirem teodolitos eletr^onicos so sticados, um bom teodolito otico-mec^anico, como o que e mostrado na gura abaixo, e su ciente para que se obtenha dados precisos.

[pic 1]

Figura 1: Teodolito otico-mec^anico.

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• Determinac~ao das medidas do terreno

A regi~ao da UNICAMP selecionada para o projeto e mostrada na Figura 2. Nela, foram cravadas cinco estacas que representam os vertices do pol gono a ser demarcado. Como o terreno tem declividade suave e n~ao possui acidentes, trabalharemos apenas com esses cinco vertices.

[pic 2]

Figura 2: Regi~ao que contem o que contem o terreno a ser mapeado.

A determinac~ao precisa das coordenadas de pontos topogra cos envolve algumas tecnicas que fogem ao escopo desse projeto. Assim, zemos apenas uma medic~ao simples e rapida de ^angulos, mantendo o teodolito em uma posic~ao xa proxima ao centro da regi~ao a ser mapeada, de modo que, a partir desse ponto, pudessemos ver todas as estacas.

Cada observac~ao feita com o teodolito e chamada visada. Os dados fornecidos pelo teodolito s~ao su cientes par que se calcule os ^angulos 1; : : : ; 5 entre as visadas, as dist^ancias d1; : : : ; d5 entre o aparelho e as estacas, e os lados do pol gono, p1; : : : ; p5. A Figura 3 resume as medidas horizontais que podem ser determinadas.

1. Determinac~ao dos ^angulos  1; : : : ; 5

A primeira etapa necessaria a correta locac~ao dos pontos em um mapa e a a determinac~ao dos ^angulos horizontais 1; : : : ; 5 mostrados na Figura 3. Seguindo uma estrategia muito simples para a obtenc~ao desse ^angulos, usamos uma bussola para determinar o norte magnetico da Terra, que de ne a direc~ao a partir da qual o ^angulo horizontal do teodolito sera medido (ou seja, a direc~ao correspondente a 0 ).

Em seguida, medimos o azimute, zi, de cada uma das estacas i = 1; : : : ; 5. Em topogra a, azimute e o ^angulo que uma determinada visada faz com o norte. Esse ^angulo e medido no

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[pic 3]

Figura 3: Medidas horizontais a serem determinadas.

sentido horario, de modo que o azimute de um ponto perfeitamente a leste e 90 , enquanto um ponto perfeitamente a oeste tem azimute 270 .

Os ^angulos 1; : : : ; 5 desejados podem ser obtidos pela diferenca dos azimutes. A Figura 4 mostra as estacas i e i + 1, bem como seus azimutes. Nessa gura, o ^angulo i e dado simplesmente por i = zi+1 zi.

[pic 4]

Figura 4: Azimutes de duas estacas sucessivas.

Apesar de n~ao ser muito precisa, essa estrategia exige um numero pequeno de visadas e permite que incorporemos facilmente o norte magnetico da Terra ao nosso mapa. Alem disso, ela garante que os angulos^ 1; : : : ; 5 somem exatamente 360 .

1. Determinac~ao das dist^ancias d1; : : : ; d5 e do desn vel do terreno

A determinac~ao das dist^ancias d1; : : : ; d5 e um pouco mais complexa, exigindo n~ao so algumas medic~oes com o teodolito, como tambem uma boa dose de trigonometria. Usando os mesmos

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dados, tambem e poss vel calcular o desn vel hi  entre a posic~ao do teodolito e a estaca.

Para calcular a dist^ancia di entre o teodolito e a estaca i e necessario mirar dois pontos ri e si diferentes da regua, e fazer duas leituras i e i do angulo^ zenital, que e o angulo^ medido em relac~ao a semirreta vertical que parte do centro do teodolito em direc~ao ao z^enite, o ponto da esfera celeste exatamente acima do observador (ou do teodolito, em nosso caso).

A Figura 5 mostra os quatro valores lidos no teodolito { ri, i, si e i{, bem como as medidas verticais que queremos determinar { di e hi. O desenho da esquerda corresponde a uma estaca situada em um ponto mais alto que o teodolito, enquanto a imagem da direita mostra uma estaca abaixo do n vel do teodolito.

[pic 5]

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(a) Angulo zenital menor que 90        (b) Angulo zenital maior que 90

Figura 5: Medidas verticais a serem lidas e determinadas.

O calculo de di e hi e feito de forma indireta. Primeiramente, aplicamos a lei dos senos para obter a dist^ancia qi em func~ao dos angulos^ zenitais i e i e da diferenca entre os valores lidos na regua, vi = ri si. O tri^angulo usado nesse calculo e reproduzido na Figura 6.

qi		=	vi	:
sen( i)	sen ( i        i)

[pic 6]

Figura 6: Tri^angulo usado para a determinac~ao de qi  atraves da lei dos senos.