O Departamento de Ciências Exatas

Universidade Federal de Alfenas - Unifal-MG

Departamento de Ciências Exatas

Apostila Laboratório de Física I – Parte II

Prof. Célio Wisniewski

Alfenas – 2011

1. Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)

Na figura abaixo, temos duas curvas, uma representada por pontos (bolinhas) e outra por uma linha contínua.

As bolinhas são os dados experimentais e a linha é o ajuste de uma curva aos dados experimentais.

Chamamos o dado experimental de [pic 1].  A curva ajustada é uma função, isto é, [pic 2].  Mas como obter essa função a partir dos dados experimentais?[pic 3]

Para determinar a curva, primeiramente definimos o tipo de curva.  Neste caso ela se parece com uma função de segundo grau. Logo nossa função deve ser do tipo [pic 4].   Como temos x, temos que calcular os coeficientes.   Para obter os coeficientes, utilizamos o método dos mínimos quadrados MMQ.   Este método consiste em fazer o quadrado da diferença entre o valor experimental e o valor obtido pela curva ajustada mínimo.  Portanto a determinação dos coeficientes da curva deve ser tal que o quadrado da diferença , ou erro, seja mínimo.

Para calcular o valor de máximo ou mínimo devemos derivar uma função e igualar a zero.

Portanto, somando todos os quadrados dos erros

[pic 5]

Para simplificar, vamos considerar o caso mais simples.  Isto é, os dados experimentais estão muito próximos a uma reta, isto é,  [pic 6]

Logo, temos dois valores a serem determinados, A e B.

[pic 7]

Esta equação possui duas variáveis, logo temos duas derivadas:

[pic 8]

Quando derivamos em relação a a, b é uma constante, e em relação a b, a é uma constante.

[pic 9]

Através de tratamentos estatísticos, podemos obter os erros.

[pic 10]

Se a equação de reta passar obrigatoriamente pelo zero (origem), então podemos simplificar para:

[pic 11]

Por exemplo, foi feita a medida da força F para esticar uma mola de uma quantidade x.  Qual a relação entre F e x?

medida	xi(m)	Fi(N)		xi Fi	xi2
1	0	0		0	0
2	0,02	0,11		0,0022	0,0004
3	0,04	0,19		0,0076	0,0016
4	0,06	0,32		0,0192	0,0036
5	0,08	0,38		0,0304	0,00640
[pic 12]	0,2	1		0,0594	0,012

Supondo que a relação é uma equação de reta, a função é:   [pic 13].  Note que neste caso a reta passa obrigatoriamente pelo zero, então: