USO DA SOMATÓRIA EM QUESTÕES DE DIVISIBILIDADE E EM SEQUÊNCIAS
Por: Pedro Phelipe • 28/5/2016 • Trabalho acadêmico • 724 Palavras (3 Páginas) • 415 Visualizações
Universidade Federal de Tocantins - Campus Arraias
Programa de Mestrado Profissional em Matemática
Universidade Aberta do Brasil – UAB
Sociedade Brasileira de Matemática - SBM
USO DA SOMATÓRIA EM QUESTÕES DE
DIVISIBILIDADE E EM SEQUÊNCIAS
Raul Rodrigues dos Santos1
Introdução
Neste artigo, apresentaremos dois problemas relacionados à divisibilidade dos números
naturais com a soma dos seus antecessores e mais uma questão de sequência por recorrência ao qua
solucionaremos usando a somatória.
As demonstrações aqui apresentadas foram desenvolvidas durante o Curso “Resolução de
Problemas” do Programa de Mestrado Profissional em Matemática (ProfMat).
1.1
Demonstrações de divisibilidade de uma somatória
As afirmações abaixo foram desenvolvidas a partir da observação da somatória dos termos
de uma Progressão Aritmética com razão e primeiro termo igual 1.
Para facilitar os estudos, observe as somatórias a serem utilizadas neste artigo.
∑
=1
∑
=1+2=3
∑
=1+2+3=6
∑
= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
=
∑
=1+2+
+ (n – 1) + n =
(
)
=
Afirmação 1 - Todo número ímpar maior ou igual a 1 dividi a somatória dos seus antecessores
naturais.
Exemplo:
7 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Como 7 | 21, temos que 7 é um caso particular válido.
1
Prof. Esp. pela Universidade Federal de Brasília - UnB e Mestrando na Universidade federal de Tocantins – UFT.
Solução:
, para todo q ≥ 0, com q
Considere os números ímpares, como
.
Dividiremos em duas partes nossa demonstração, a primeira com q = 0 e a segunda quando
q ≥ 1,
.
1ª Parte:
Quando
, temos 2(0) + 1 | 0
1 | 0.
Obs: a soma dos antecessores naturais de 1 será 0.
2ª Parte:
|∑
Verificaremos se
Como ∑
,
q ≥ 1, com
.
é igual a 1 + 2 + ... + 2q, que por sua vez pode ser representada como a
somatória de uma progressão aritmética de razão +1, com
Sendo assim, ∑
=
(
)
=(
| (
Por fim, temos que
) ,
e
q ≥ 1, com
)
|∑
.
,
q ≥ 1.
Logo, todo número ímpar maior ou igual a 1 dividi a somatória dos seus antecessores
naturais.
Afirmação 2 - Verifique se todo número par maior do que 1 dividi a diferença da somatória dos
seus antecessores naturais com sua própria metade.
Exemplo:
6 | (1+2+3+4+5) – = 15 – 3 = 12
Como 6 | 12, temos que 6 é um caso particular válido.
Solução:
Considere os números pares, como
Verificaremos se
Como ∑
|(∑
)–
, para todo q ≥ 1,
q ≥ 1, com
,
.
é igual a 1 + 2 + ... + (2q – 1), que por sua vez pode ser representada como a
somatória de uma progressão aritmética de razão +1, com
Temos que, ∑
=
[
Sendo assim, ( ∑
todo
.
(
)–
)] (
)
=
...