APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS

Aplicação de Integrais Duplas

Integrais duplas é uma forte ferramenta matemática que possibilitou a solução de problemas que até então não possuíam respostas, gerando um grande avanço e contribuição para várias ciências que careciam de uma ferramenta para o seu desenvolvimento. Podem-se explorar as aplicações físicas, tais como cálculo de massa, carga elétrica, centro de massa e momento de inércia. Essas ideias físicas são importantes quando aplicadas à funções densidade de probabilidade de duas variáveis aleatórias.

Densidade e Massa

Equações:

m=lim┬(k,l→∞)⁡∑_(i=1)^k▒∑_(j=1)^l▒〖ρ(x_ij^*,y_ij^* )∆A=〗 ∬_D▒〖ρ(x,y)dA〗

Onde m é a massa total de uma lâmina. Físicos consideram ainda outros tipos de densidade que podem ser tratados da mesma maneira. Por exemplo: se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região D, a carga total é dada por:

Q=∬_D▒〖σ(x,y)dA〗

Exemplo: Uma carga está distribuída na região triangular D da figura de modo que a densidade de carga em (x,y) é σ(x,y) = xy, medida em coulombs por metro quadrado (C/m2). Determine a carga total.

Da equação e da figura, temos:

Q=∬_D▒σ(x,y)dA=∫_0^1▒∫_(1-x)^1▒〖xy dydx〗

=∫_0^1▒〖[x y^2/2]_(y=1-x)^(y=1) dx〗= ∫_0^1▒x/2 [1^2-(1-x)^2 ]dx

=1/2 ∫_0^1▒〖(〖2x〗^2-x^3)dx〗=1/2 [〖2x〗^3/3-x^4/4]_0^1= 5/24

Logo, a carga total é 5/24 C.

Aplicação de Integrais Triplas

A interpretação do volume para a integral tripla ∭_E▒f(x,y,z)dV, onde f(x,y,z)≥0, não é muito útil, porque seria um “hipervolume” de um objeto de quatro dimensões e, é claro, de muito difícil visualização. Apesar disso, a integral tripla ∭_E▒f(x,y,z)dV pode ser interpretada de forma diversa em diferentes situações físicas, dependendo das interpretações físicas de x,y,z e f(x,y,z).

Todas as aplicações de integrais duplas podem ser imediatamente estendidas para as integrais triplas. Por exemplo, se a função densidade de um objeto sólido que ocupa a região E é ρ(x,y,z), em unidades de massa por unidade de volume, em qualquer ponto (x,y,z), então sua massa é:

m=∭_E▒ρ(x,y,z)dV

e seus momentos em relação aos três planos coordenadas são:

M_yz=∭_E▒〖x ρ(x,y,z)dV〗

M_xz=∭_E▒〖y ρ(x,y,z)dV〗

M_xy=∭_E▒〖z ρ(x,y,z)dV〗

O centro de massa está localizado no ponto (x ̅,y ̅,z ̅), onde:

x ̅=M_yz/m y ̅=M_xz/m z ̅=M_xy/m

Se a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado centroide deE. Os momentos de inércia em relação aos três eixos coordenados são:

I_x= ∭_E▒(y^2+z^2 )ρ(x,y,z)dV

I_y= ∭_E▒(x^2+z^2 )ρ(x,y,z)dV

I_z= ∭_E▒(y^2+y^2 )ρ(x,y,z)dV

Se tivermos três variáveis aleatórias X, Y e Z, sua função densidade conjunta é uma função de três variáveis tal que a probabilidade de (X, Y, Z) estar