O DESENHO GEOMÉTRICO

A figura abaixo representa um paralelogramo com lados medindo 3 cm e 5 cm e um ângulo interno de 60º.

[pic 1]

1. Utilize régua e compasso para reproduzir essa figura em uma folha de papel.
2. Construa as retas que passam pelo ponto A e são perpendiculares aos lados BC e CD. Nomeie de P e Q, respectivamente, as intersecções com os lados BC e CD.
3. Os segmentos de reta AP e AQ são alturas do paralelogramo. Elas são congruentes?

RESPONDENDO AO CASO:

1. Trace um segmento DC com 5 centímetros. Construa ângulo de 60º com lado em DC e centro em D: centre o compasso em D e com uma abertura qualquer, trace um arco que corte o segmento DC em um ponto K. Com a mesma abertura e com a ponta seca no ponto K, trace um arco que corte o arco construído anteriormente no ponto L. A reta que passa e DK forma um ângulo de 60º com o segmento DC. Determine o segmento DA com 3 cm, sobre a reta DK. Construa a reta paralela DC passando por A. Para isso, coloque a ponta seca do compasso no ponto A e trace um arco qualquer que corte a reta DC em um ponto F. Com a mesma abertura, coloque a ponta seca em F e trace um arco que corte a reta DC em um ponto F. Com a mesma abertura, coloque a ponta seca em F e trace um arco que corte a reta DC em um ponto G. Ainda com a mesma abertura, coloque a ponta seca em G e trace um arco que intersecte o arco traçado anteriormente, marcando o ponto H. Trace a reta HA. Repita a etapa anterior para construir a reta BC paralela a AD. A intersecção dessas retas determina o vértice B do paralelogramo.

[pic 2]

1. Construção da perpendicular ao segmento DC que passa por A.

1. Coloque a ponta seca do compasso no ponto A.
2. Trace um arco de circunferência que corte a reta DC em dois pontos, E e F (se necessário, prolongue a reta DC).
3. Com abertura maior do que a metade do comprimento do segmento EF, trace um arco com centro em E e um arco om centro em F, de modo que esses arcos se intersectem em um ponto M.
4. Trace a reta AM.
5. Marque o ponto de intersecção da reta AM com o segmento DC e marque o ponto Q.

[pic 3]

Construção da perpendicular ao segmento BC que passa por A.

1. Coloque a ponta seca do compasso no ponto A.
2. Trace um arco de circunferência que corte a reta BC em dois pontos I e J (se necessário, prolongue a reta BC).
3. Com abertura maior do que a metade do comprimento do segmento IJ, trace um arco com centro em I e um arco com centro e J, de modo que esses arcos se intersectem no ponto N.
4. Trace a reta NA.
5. Marque o ponto de intersecção da reta NA com o segmento BC e marque o ponto P.

[pic 4]

1. As alturas não são congruentes.

Demonstração: nota-se que a área do paralelogramo é dada por 5 . AQ e também por 3 . AP, ou seja, vale a igualdade 5 . AQ = 3 . AP. E supondo que AQ = AP = k, em que k é o valor que as duas alturas assumem caso elas sejam iguais, tem-se: 5 . k = 3 . k, ou seja, 5 = 3, o que é uma contradição. Logo, as alturas não podem ser congruentes.

...