A ANÁLISE DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS NA EQUAÇÃO DA ADVECÇÃO-DIFUSÃO-REAÇÃO DOS FLUIDOS

ANÁLISE DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS NA EQUAÇÃO DA ADVECÇÃO-DIFUSÃO-REAÇÃO DOS FLUIDOS

1. INTRODUÇÃO

A mecânica dos fluidos é a parte da física que estuda os efeitos das forças sobre os fluidos. Ao longo de séculos, mediante a experimentação prática, se chegou à determinação de princípios básicos que todo fluido deve satisfazer. Esses princípios são chamados de Leis de Conservação (LEVEQUE, 1992). As três leis de conservação que governam o transporte são (DATE, 2005): Lei da Conservação da Massa (transporte da massa), Segunda Lei do Movimento de Newton (Transporte do momentum) e Primeira Lei da Termodinâmica (transporte da energia).

O transporte de um fluido em tubulações pode ser analisado através de modelos matemáticos. A modelagem matemática é importante uma vez que possibilita a implementação de um modelo computacional e consequentemente a simulação do fenômeno, possuindo várias aplicações importantes, como a concepção, operação e monitoramento. Por meio da modelagem é possível prever o transporte de um fluido em tubulações e a capacidade de suporte, fornecendo aos especialistas dados para melhoria do projeto. Além disso, a modelagem matemática dos fenômenos associados à dinâmica dos fluidos tem ganhado impulso com o avanço dos computadores digitais, devido à dificuldade em se obter soluções analíticas e pela facilidade de aplicação e o baixo custo com relação aos experimentos.

A equação de transporte, também chamada de equação de Advecção–Difusão– Reação (ADR) faz parte da representação matemática de fenômenos da física, tais como: dispersão de poluentes em fontes de água ou no ar, transferência de calor, evolução da população de espécies, migração do petróleo e gás no subsolo, entre muitos outros presentes na natureza e na indústria (HUNDSDORFER, 2003). Essa equação apresenta características de uma equação diferencial e uma das maneiras para solucionar este tipo de equação é utilizando o Método das Diferenças Finitas (MDF), mais precisamente, nos problemas apresentados neste trabalho, será utilizada a solução de Problema de Valor no Contorno Bidimensional (PVC - 2D) (CUNHA, 2000).

Os fluidos são parte integral da nossa vida, estando presentes em diversas áreas, como: no ar que respiramos, na sustentação dos aviões, no petróleo que mobiliza parte da economia mundial e na água que movimento uma turbina para gerar energia. Esses exemplos simples nos reforçam a importância de compreender muito bem o comportamento dos fluidos para seu posterior aproveitamento em nosso benefício. Para isto, é preciso realizar novos estudos que envolvem a dinâmica dos fluidos e aprimorar os existentes.

1. JUSTIFICATIVA DO TEMA

A equação de Transporte, também denominada Equação da Advecção-Difusão-Reação dos fluidos, tem características bastante peculiares que fazem com que sua resolução por meios numéricos seja dificultada em situações onde o problema é fortemente convectivo. Por isso, diversos métodos têm sido desenvolvidos e aplicados, com a intenção de superar as dificuldades numéricas impostas por esta equação.

1. DELIMITAÇÃO DO TEMA

Será realizada uma análise por meio de implantação de cenários na ferramenta Matlab e posterior discussão dos resultados, onde será verificada a variação da solução da Equação de Transporte de massa dos fluidos, quando discretizada utilizando aproximações com precisão de equações diferenciais de 1ª e 2ª ordem.

1. OBJETIVOS

1. Geral

Analisar a qualidade e variação da solução da Equação de Transporte bidimensional quando discretizada utilizando aproximações de equações diferenciais 1ª e 2ª ordem, viabilizando as soluções através de métodos numéricos computacionais.

1. Específicos

• Propor duas aplicações físicas diferentes ao problema: Aplicação Física 1 (Problema difusivo-convectivo com convecção dominante) e Aplicação Física 2 (Resfriador bidimensional);
• Programar em Matlab um código de diferenças finitas para problemas bidimensionais modelados pela equação de transporte;
• Comparar os resultados das aproximações de 1ª e 2º ordem.

1. HIPÓTESE

Visualização de discrepância entre a solução dos sistemas lineares, o tempo para geração e como o refino da malha com os métodos aplicados para soluções em primeira e segunda ordem.

1. METODOLOGIA

Com relação aos procedimentos técnicos a pesquisa é considerada como experimental, uma vez que que os dados serão selecionados de forma a identificar sua influência nas variáveis objeto do estudo, definindo as formas de controle e de observação dos efeitos. Quanto à abordagem do problema, a pesquisa pode ser classificada como quantitativa, pela utilização de dados e resultados objetivos. Este estudo possui natureza aplicada, objetivando o conhecimento para aplicação prática com solução de problemas específicos e explicativa quanto aos objetivos. Será realizada uma pesquisa bibliográfica tendo como suporte dissertações, teses, artigos científicos e livros relacionados ao estudo do tema. A pesquisa bibliográfica buscará artigos científicos pertinentes ao tema estudado, sendo esses: Equação de Convecção-Difusão-Reação, Diferenças Finitas e Equação de Transporte.

Será analisada a qualidade da Equação de Transporte Bidimensional discretizando e implementando aproximações de 1ª e 2ª ordem, tanto para a derivada de 1ª ordem quanto para as condições de contorno. Para isso, será implementado em Matlab (testes computacionais) um código de diferenças finitas para problemas bidimensionais modelados pela Equação de Transporte.

Para essa análise serão propostos 06 (seis) Cenários Problemas com dois tipos de aplicações, sendo a Aplicação Física 1 (Problema difusivo-convectivo com convecção dominante) e a Aplicação Física 2 (Resfriador bidimensional). Divididos conforme a seguir:

• Cenário1: uso da APLICAÇÃO FÍSICA 1 de primeira ordem em que a orientação dos códigos são em equações diferenciais de primeira ordem;
• Cenário2: uso da APLICAÇÃO FÍSICA 1 de segunda ordem em que a orientação dos códigos são em equações diferenciais de segunda ordem;
• Cenário3: uso da APLICAÇÃO FÍSICA 2 de primeira ordem condição mista em que a orientação dos códigos são em equações diferenciais de primeira ordem com condições mistas de análise;
• Cenário4: uso da APLICAÇÃO FÍSICA 2 de segunda ordem condição mista em que a orientação dos códigos são em equações diferenciais de segunda ordem com condições mistas de análise;
• Cenário5: uso da APLICAÇÃO FÍSICA 2 de primeira ordem com valor prescrito em que a orientação dos códigos são em equações diferenciais de primeira ordem com valores definidos para análise;
• Cenário6: uso da APLICAÇÃO FÍSICA 2 de segunda ordem com valor prescrito em que a orientação dos códigos são em equações diferenciais de segunda ordem com valores definidos para análise.

1. APLICAÇÃO FÍSICA 1 - PROBLEMA DIFUSIVO-CONVECTIVO COM CONVECÇÃO DOMINANTE

O problema difusivo-convectivo considera a Equação de Transporte no interior do quadrado de dimensões (−1, 1) x (−1, 1), conforme a Figura 1. Admitindo k = 10-3, β = (−y, x)T, γ = 0 e f = 0 satisfazendo as condições de contorno homogêneas, ou seja, u(x, y) = 0 para (x, y) ∈ T. Supondo o ponto O = (0, 0) e o ponto A = (0,−1), o segmento OA é uma fronteira interna com valores prescritos, ou seja, u(x, y) = − sen(2 π y).

Figura 1: Descrição do Problema Difusivo-Convectivo

[pic 1]

Fonte: Cunha (2000)

1. APLICAÇÃO FÍSICA 2 - RESFRIADOR BIDIMENSIONAL

Considere o problema de resfriar uma massa aquecida como mostra a Figura 2. Exemplos podem incluir o resfriamento de chips de computadores ou amplificadores elétricos. O modelo matemático que descreve a transferência de calor nas direções x e y é dado Equação de Transferência de Calor de Fluidos: