Sistemas de Numeração e Conversões entre os Sistemas mais Usados
Por: Jamim Azai • 20/11/2018 • Trabalho acadêmico • 1.298 Palavras (6 Páginas) • 137 Visualizações
Sistemas de Numeração
Um sistema de numeração é na realidade uma maneira de representar os números, de forma que todos os símbolos gerados sejam únicos. Existem dois tipos principais: os posicionais e os não-posicionais. Neste trabalho, focaremos apenas nos sistemas posicionais:
- Sistemas de Numeração Posicionais:
Nestes sistemas, dependendo da posição o caractere pode assumir diversos valores. O sistema que nós usamos, o decimal, é um exemplo disso. Pense no número 1243. Caso nosso sistema fosse não-posicional, esse conjunto de caracteres teria valor de 1 + 2 + 4 + 3 = 10. Considere, porém, que no número 1243 o algarismo 1 está na casa dos milhares. Logo seu valor é 1 * 1000 = 1000. O algarismo 2 está nas centenas, logo seu valor é 2 * 100 = 200. O algarismo 4 está na casa das dezenas, logo seu valor é 4 * 10 = 40. Por fim, o algarismo 3 está na casa das unidades logo seu valor é 3 * 1 = 3. Em resumo, levando em conta a posição dos algarismos, cada um adquiriu um valor diferente, e ao final temos: 1000 + 200 + 40 + 3 = 1243. Esses tipos de sistema são muito práticos pois permitem que trabalhemos com números imensos usando relativamente poucos caracteres além de permitir uma precisão tremenda nos cálculos.
O processador do computador é composto por transistores que só podem receber dois estados: ligado e desligado. Todos os cálculos que a CPU faz são baseados nessa arquitetura, logo todos os dados que entram e saem do processador são apenas impulsos elétricos: ligado ou desligado. O sistema binário é usado na computação para que nós entendamos como o computador faz esses cálculos. Além do sistema binário, o sistema octal e o hexadecimal são amplamente utilizados na informática. Esses sistemas são posicionais e a única diferença entre eles é a quantidade de caracteres usados na construção dos números:
Binário: base 2. Caracteres: 0 e 1.
Octal: base 8. Caracteres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Decimal: base 10. Caracteres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Hexadecimal: base 16. Caracteres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).
- Conversões
- Outra base para decimal
Lembre-se de que ambos os sistemas são posicionais, logo dependendo da casa em que o algarismo está, ele muda de valor. De forma geral, para um número N na base b formado por uma quantidade x de algarismos, ocupando posições começando pela posição 0° até a x° posição, temos: [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
Aplicando a fórmula para transformar o número para um número na base 10: [pic 8]
[pic 9]
Logo: [pic 10]
*obs: o número subscrito entre parênteses nos resultados indica a base.
*obs: as posições são contadas da direita para a esquerda começando pela posição zero (0).
É importante salientar que essa fórmula funciona em qualquer base.
- Decimal para qualquer base
Se o método de conversão de qualquer base para decimal é feito por meio de multiplicações pela base, o método inverso é feito com a operação inversa da multiplicação. De maneira geral temos:
a) o resto x deve ser mantido;[pic 12][pic 11]
b) O quociente da divisão anterior o resto deve ser mantido;[pic 14][pic 13]
c) O processo deve ser repetido até que não seja mais possível dividir;
d) O número convertido é feito pela composição do quociente da última divisão com o resto de todas as divisões, da última para a primeira. Veja abaixo na prática:
[pic 16][pic 15]
17 2 [pic 17]
1 8 2 [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
0 4 2 [pic 22]
0 2 2
0 1
Logo: 17 convertido para binário é 10001. Esse método funciona em qualquer conversão de decimal para outra base.
- Operações básicas
- Adição
A adição funciona da mesma forma em qualquer sistema de numeração. Como assim? No sistema decimal por exemplo, somam-se os algarismos que estão nas mesmas casas decimais. Exemplo:[pic 23]
129
+ 112 [pic 24]
241[pic 25]
Primeiro soma-se 9 + 2. Como 11 excede o número máximo de caracteres decimais, faz-se 11 menos a base decimal, no caso 10. “Fica” 1 (11 – 10 = 1) e “vai” um.
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