A aplicação da equação de continuidade

A aplicação das duas primeiras equações básicas (Equação de continuidade e Segunda Lei de Newton) ao escoamento unidimensional do líquido ideal dá como resultado uma equação conhecida como equação de Bernoulli. Essa equação é importante porque muitos problemas práticos podem ser aproximados razoavelmente por essa condição.

O líquido ideal é um fluido incompressível e com viscosidade nula. Escolhamos um volume de controle C que envolva o fluido de forma que não haja fluxo pelas laterais, apenas pelas faces anterior e posterior. Façamos o volume de C ser infinitesimal e sejam δAa e δAp as áreas de cada face, e δl o seu comprimento. Como C é muito pequeno, as propriedades importantes do campo só podem mudar infinitesimalmente no seu entorno; assim, se p e v são a pressão e a velocidade do fluido na face anterior, na face posterior serão p + δp e v + δv.

A aplicação da equação de continuidade

[pic 1]

resultará em

[pic 2]

pois o produto δv · δA pode ser desprezado. Aplicando-se a segunda lei de Newton

[pic 3]

teremos

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A força δFb será a componente do peso de C no sentido do escoamento. Seja Θ o ângulo que o fluxo faz com o eixo vertical, convencionado como o eixo Z. Assim:

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Onde δz = δl · sin Θ é a projeção na vertical do elemento de volume. O sinal negativo, obviamente, deve-se ao fato de a força apontar para baixo.

A força δFs, na ausência de tensôes superficiais, uma vez que o fluido tem viscosidade nula, poderá ser calculada pelo método indicado na seção sobre hidrostática: somam-se os produtos da pressão no centro geométrico de cada superfície pela projeção da mesma no plano.

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onde os subscritos a, p e l indicam as superfícies anterior, posterior e lateral, posteriormente. Como estamos considerando positivas as forças que atuam no sentido do fluxo:

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Assim:

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pois o termo δpδA é muito pequeno e pode ser desprezado.

Tudo isso resulta em

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novamente desprezando o produto de dois infinitesimais. A equação pode ser escrita

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que é a equação de Bernoulli.

Cumpre lembrar mais uma vez que essa equação só é válida para o líquido ideal em um escoamento laminar, e em regime permanente; apenas nessas condições o fluxo dentro do elemento de volume δv espelha bem o fluxo macroscópico real.

Carga e energia[editar]

As parcelas da equação de Bernoulli, como formulada acima, possuem a dimensão de energia especifica. Isso pode ser verificado da seguinte maneira:

D{e} = [D{F}·D{L}·D{M}-1] = [[M·L·t-2]·L·M-1] = [L2·t-2]

D{p·ρ-1} = [D{F}·D{A}-1]·[D{M}-1·D{V}1] = [[M·L·t-2]·[L-2][M-1]·[L3] = [L2·t-2]

D{v2} = [[L·t-1]2] = [L2·t-2]

D{gz} = [D{g}·D{z}] = [[L·t-2]·L] = [L2·t-2]

Como g é uma constante, podemos dividirmos todas as parcelas por ela, obtendo a equação na forma

[pic 11]

onde as parcelas possuirão a dimensão de comprimento, como é fácil ver pela última parcela. A grandeza obtida dessa forma é chamada carga na literatura.

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