Funções do 2 grau, exponencial e logaritmica

Função

A função é utilizada para estabelecer uma relação entre dois conjuntos distintos.

A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos defini-la utilizando uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos um valor de f(x). Chamamos x de domínio e f(x) ou y de imagem da função.

A formalização matemática para a definição de função é dada por: Seja X um conjunto com elementos de x e Y um conjunto dos elementos de y, temos que:

f: x → y

[pic 1]

[pic 2]

Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do conjunto y. Essa ocorrência é determinada por uma lei de formação.

A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o valor de x.

Tipos de funções

As funções podem ser classificadas em três tipos, a saber:

• Função injetora

Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da imagem f(x). Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes. Veja um exemplo:

• Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-1,5, +2, +8}
• Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {A, C, D}
• Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {A, B, C, D}

[pic 3]

• Função Sobrejetora

Na função sobrejetora, todos os elementos do domínio possuem um elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos.

• Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-10, 2, 8, 25}
• Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C}
• Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C}

[pic 4]

• Função bijetora

Essa função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, pois, cada elemento de x relaciona-se a um único elemento de f(x). Nessa função, não acontece de dois números distintos possuírem a mesma imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos.

• Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-12, 0, 1, 5}
• Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C, D}
• Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C, D}

[pic 5]

As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos duas coordenadas, que são x e y. O plano desenhado é bidimensional. A coordenada x é chamada de abscissa e a y, de ordenada. Juntas em funções, elas formam leis de formação. Veja a imagem do gráfico do eixo x e y:

[pic 6]

Do último ano do Fundamental e ao longo do Ensino Médio, geralmente estudamos doze funções, que são:

1 – Função constante;

2 – Função par;

3 – Função ímpar;

4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau;

5 – Função Linear;

6 – Função crescente;

7 – Função decrescente;

8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau;

9 – Função modular;

10 – Função exponencial;

11 – Função logarítmica;

12 – Funções trigonométricas;

13 – Função raiz.

 Vejamos agora o gráfico e a fórmula geral de cada uma das funções listadas acima:

 1 - Função constante

Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma imagem (y).

Fórmula geral da função constante:

f(x) = c

x = Domínio

f(x) = Imagem

c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais.

Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2

[pic 7] 

2 – Função Par

A função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como sendo uma figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente.

Fórmula geral da função par:

f(x) = f(- x)

x = domínio

f(x) = imagem

- x = simétrico do domínio

Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x2

[pic 8]

3 – Função ímpar

A função ímpar é simétrica (figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente) em relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x.

Fórmula geral da função ímpar

f(– x) = – f(x)

– x = domínio

f(– x) = imagem

- f(x) = simétrico da imagem

Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x

[pic 9] 

4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau

Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b.

Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau