Os Numeros Complexos

Introdução

O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido claro para os matemáticos que se depararam com esta questão, até a concepção do modelo dos números complexos. Um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma z = x + yi, sendo x e y números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i2 = -1, sendo que x e y são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de z.

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Introdução

Introdução        1

1.        NUMEROS COMPLEXOS        3

1.1.        Representação de um Número Complexo        3

1.2.        Fórmula Algébrica de Um Número Complexo        3

1.3.        Igualdade De Números Complexos        3

1.4.        Igualdade De Números Complexos        4

1.5.        Oposto de Número Complexo        4

1.6.        Conjugado de Número Complexo        4

1.7.        Operações Sobre Números Complexos        4

1.8.        Modulo de um Número Complexo        5

Transformação da Forma Algébrica para a Forma Polar        5

Operações de Números Complexos na Forma Polar (Trigo-nométrica).        5

Fórmula de Moivre        5

Transformação das Coordenadas        6

Coordenadas Polares        6

Coordenadas Cilíndricas        6

Coordenadas Esféricas        7

Conclusão        9

Referências bibliográfica        10

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1. NUMEROS COMPLEXOS

Quando vamos solucionar equações do tipo , nos deparamos com . Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação  para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria. Esse número “” é conhecido como unidade imaginária.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

1. Seja conjunto N = {1; 2; 3; ...}, o conjunto dos números naturais.

Para x + y ∈ N ∀x; y ∈ N e para x.y ∈ N ∀ ∈ N.

Exemplo 6.1. - Na equação x + 4 = 2 a solução ´e x = −2 ∈ N. Assim surge os números inteiros positivos e negativos incluindo o zero. O conjunto Z.

1. Z = {...; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; ...}. Para a equação 2x = 1 temos x =  ∈ Z. Dai surge o conjunto Q.[pic 6]
2. Q = {: m; n ∈ Z; n = 0}. Se x2 = 2 a solução é x = √2 ∈ R.[pic 7]

4)   N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ Q . Mas vejamos a solução da equação x2 + 2 = 1. x = √−1 ∈ R, então definamos √−1 = i ∈ C. i− unidade imaginária.

Exemplo - Resolvendo a equa¸c˜ao, x2 + 2x + 10 = 0. Onde = 4 − 4.10 = −36 < 0, para

= = = 6= 6i e x = ∈ C.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

1. Representação de um Número Complexo

Seja z = x + iy onde x , y ∈ R.

x  é parte real do número complexo z e representa-se por R(z) = x ; y é parte imaginária do número complexo z, e representa-se por Im(z) = y.

1. Fórmula Algébrica de Um Número Complexo

Temos a fórmula algébrica z = x + iy onde x , y ∈ R. Onde x = R(z) e y = Im(z).

Exemplo - Para z = 2 − 3i temos 2 = R(z) e −3 = Im(z)

1. Igualdade De Números Complexos

Seja z1 = x1 + iy1  e z2 = x2 + iy2. Temos igualdade de números complexos se z1 = z2 , isto é; quando x1 = x2  e y1 = y2.

Exemplo - Para z1 = 3 + i e z2 = 3 + i. Os números complexos são iguais z1 = z2 porque Re(z1) = 3 = Re(z2) e Im(z1) = 1 = Im(z2)

Exemplo - Para z1 = 3 − i e z2 = 3 + 2i. Os números complexos não são iguais z1 = z2 porque Im(z1) = −1 = Im(z2) = 2.

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