O Projeto Trabalho

Para provar que toda função afim é injetora, primeiro vamos definir o que é uma função afim. Uma função afim é uma função da forma:

\[ f(x) = ax + b \]

Onde \( a \) e \( b \) são constantes reais.

Para mostrar que \( f(x) = ax + b \) é injetora, precisamos demonstrar que para todos \( x_1 \) e \( x_2 \) no domínio da função, se \( f(x_1) = f(x_2) \), então \( x_1 = x_2 \).

Então, vamos supor que \( f(x_1) = f(x_2) \). Isso significa que:

\[ ax_1 + b = ax_2 + b \]

Subtraindo \( b \) de ambos os lados, obtemos:

\[ ax_1 = ax_2 \]

Agora, se dividirmos ambos os lados por \( a \) (lembrando que \( a \) não é zero, porque se fosse, a função não seria afim), obtemos:

\[ x_1 = x_2 \]

Portanto, mostramos que se \( f(x_1) = f(x_2) \), então \( x_1 = x_2 \), o que significa que a função é injetora.

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Para provar que toda função afim é injetora, vamos considerar uma função afim genérica \( f(x) = ax + b \), onde \( a \) e \( b \) são constantes reais.

Suponha que existam dois valores diferentes \( x_1 \) e \( x_2 \) no domínio da função, mas que levem ao mesmo valor \( y \) na imagem da função, ou seja:

\[ f(x_1) = f(x_2) \]

Isso implica que:

\[ ax_1 + b = ax_2 + b \]

Subtraindo \( b \) de ambos os lados, temos:

\[ ax_1 = ax_2 \]

Como \( a \) é diferente de zero (se \( a = 0 \), a função não é afim), podemos dividir ambos os lados da equação por \( a \) para obter:

\[ x_1 = x_2 \]

Assim, se dois valores diferentes \( x_1 \) e \( x_2 \) no domínio produzem o mesmo valor \( y \) na imagem da função, isso implica que \( x_1 = x_2 \). Portanto, a função afim \( f(x) = ax + b \) é injetora.