SISTEMA OSCILATÓRIO AMORTECIDO
Por: Lilian Brandt • 29/5/2017 • Trabalho acadêmico • 1.343 Palavras (6 Páginas) • 218 Visualizações
SISTEMA OSCILATÓRIO AMORTECIDO
Molas e pêndulos não oscilam indefinidamente: após
um intervalo de tempo, eles atingem o repouso, devido à
existência de forças dissipativas (arrasto). Esse efeito de
redução da amplitude de oscilação do sistema oscilante é
denominado amortecimento. Um exemplo de amortecimento é
o bungee jump: Após um determinado tempo de oscilação em
torno da posição de equilíbrio do elástico, o praticante sessa
seu movimento.
Em um sistema oscilatório, há sempre uma força de
restituição elástica:
Fe k x
Para casos sem amortecimento, temos, a partir da Segunda Lei de Newton que:
R
2
R 2
F m a
d x
F m
dt
Em sistemas simplificados, a força resultante é a força restituidora (exemplo: sistema
massa mola horizontal sem atrito). Neste caso:
R
2
2
2
2
F k x
d x
k x m
dt
k d x
x 0
m dt
A solução para equação diferencial já é conhecida. Uma
vez que k 2
m
ω , a solução para a função é:
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ
ESCOLA POLITÉCNICA – ENGENHARIA_____________________________
FÍSICA II – 1º SEMESTRE 2017
ALUNO: _________________________________________________________
x(t) xm cos(ωt θ0 )
Para sistemas amortecidos, há uma força de resistência proporcional à velocidade:
ar
dx
F b v b
dt
Há agora duas forças: a de restituição e a de amortecimento:
e
ar
F k x
dx
F b
dt
Da Segunda Lei de Newton
2
R 2
d x
F m
dt
, temos que:
0
2
2
2
2
2
dx d x
k x b m
dt dt
dx d x
x 2 0
dt dt
ω ωγ
Em que 0
k 2
m
ω e
b
2
m
ωγ . A equação se trata de uma equação diferencial de
segunda ordem com coeficientes constantes. É possível perceber, pelo fenômeno observado,
que o efeito da força restauradora sobre a partícula a faz oscilar em torno de uma posição de
equilíbrio, tal qual no MHS. O efeito da força de atrito é o de provocar uma redução da
amplitude do movimento da partícula à medida que o tempo passa. Esses dois efeitos
combinados causam o movimento real do oscilador. A solução para essa equação se
caracteriza, portanto, por uma parte oscilatória combinada a uma parte exponencial:
t
x(t) xm e cos( ´t ) ωγ
ω θ
A demonstração da validade da solução pode ser obtida substituindo a solução na
equação diferencial:
t t
m 0 m 0
dx(t)
x e cos( ´t ) ´ x e sen( ´t )
dt
ωγ ωγ
ωγ ω θ ω ω θ
...