OS PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

Processos estocásticos

Lista 2

1. Considere a matriz de probabilidades de transição:

[pic 1]

1. Classifique os estados desta cadeia de Markov em Absorvente, Recorrente ou Transiente. Justifique.
2. Há estados comunicantes? Quais?

1. Considere a matriz de probabilidades de transição:

[pic 2]

1. Classifique os estados desta cadeia de Markov em Absorvente, Recorrente ou Transiente. Justifique.
2. Há estados comunicantes? Quais?

1. Considere a matriz de probabilidades de transição:

[pic 3]

Supondo que é o vetor de probabilidades dos estados desta cadeia de Markov no tempo 0 (nas aulas, utilizávamos ), ou seja o passo zero, dado por:[pic 4][pic 5]

[pic 6]

1. Obtenha o vetor de probabilidade dos estados no passo 1, ou seja [pic 7]
2. Obtenha as probabilidades limite

1. Considere a matriz de probabilidades de transição:

[pic 8]

Supondo dado por:[pic 9]

[pic 10]

1. Obtenha o vetor de probabilidade dos estados no passo 2, ou seja [pic 11]
2. Obtenha as probabilidades limite

1. Em um show de música popular a taxa de chegada de pessoas é de λ = 3 por minuto. O local que recebe o show contém 100 lugares. Sendo X(t) a quantidade de pessoas que entra na casa de show:

1. Qual o nome deste processo estocástico?
2. Construa o diagrama de fluxo deste processo.

1. Um engenheiro de produção observou que as falhas em uma linha de produção ocorrem segundo um Processo de Poisson de taxa λ = 10 falhas por turno (turno = 8 horas).

1. Qual o número médio de falhas em um período de 1 hora?
2. Qual a probabilidade de ocorrerem 20 falhas em um dia inteiro (3 turnos)?
3. Qual a probabilidade de não haver falhas em um período de 30 minutos?

1. Considere um centro de atendimento médico aonde as pessoas chegam segundo um processo de Poisson de taxa de 20 pessoas por hora. Determine a probabilidade de que o tempo entre as chegadas de duas pessoas sejam:

1. Maior que 5 minutos,
2. Menor que 1 minutos.

1. Numa população, cada indivíduo gera um filho com taxa λ e morre com taxa μ independente dos outros. Além disso, os indivíduos de fora estão imigrando para esta população com taxa λ/2, mas a imigração somente é permitida enquanto o tamanho da população não ultrapassa N. Descreva este modelo como um processo de nascimento e morte e dê as respectivas taxas.

1. Numa fábrica tem 3 máquinas e 2 mecânicos para cuidar delas. Cada máquina funciona com tempo exponencial com parâmetro 5 e depois quebre independentemente das outras. Cada mecânico leva um tempo exponencial com parâmetro 6 para consertar uma máquina.

1. Calcule o número médio das máquinas quebradas
2. Calcule o número médio das máquinas quebradas se em vez de 2 mecânicos, há apenas 1 que trabalha duas vezes mais rápido.

1. Três sapos estão brincando a beira do lago. Quando um sapo está no sol, fica com calor e pula para o lago com taxa 1. Quando um sapo está na água, fica com frio e pula do lago com taxa 2. Calcule a proporção de tempo que todos os sapos estão na água.

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1. Consideremos um sistema com 2 servidores. Os clientes chegam de acordo com um processo de Poisson com taxa λ = 1. Quando um cliente chega e encontra dois servidores vazios, ele vai para o servidor 1 com probabilidade 1/3 ou para o servidor 2 com probabilidade 2/3. Se apenas 1 servidor estiver vazio, o cliente vai para este servidor. Se os dois servidores estiverem ocupados, o cliente desiste e vai embora (portanto, não há espera na fila). Os tempos de serviço são exponenciais com taxas μ1 = μ2 = 2. Depois que um cliente termina o serviço, ele vai embora do sistema (cada cliente só passa por um servidor). Calcule a proporção de clientes que conseguem entrar no sistema.

1. Supondo que clientes chegam a um posto de atendimento com taxa λ = 3 e são atendidos com taxa de serviço μ = 4. A fila se estende para fora do posto de atendimento  e o primeiro que chega é o primeiro a ser atendido. Determine:

1. A taxa de ocupação do sistema (ρ)
2. O número médio de pessoas no sistema (L)
3. O número médio de pessoas na fila (Lq)
4. A probabilidade de o sistema estar vazio (P0)
5. O tempo médio de espera no sistema (W)
6. O tempo médio de espera na fila (Wq)

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