OS PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

[pic 1]

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO E TELECOMUNICAÇÕES

PROCESSOS  ESTOCÁSTICOS

2ª AVALIAÇÃO DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

PARTE 2

EZEQUIEL DE CARVALHO ASSIS – 201807040011

CARLOS AUGUSTO MAGALHÃES DE SOUZA - 201806840022

HERMIL GLAUBER MARGALHO DAX REIS – 201807040024

BELÉM, PA

2021

1. O processo x(t) = A. sen(2π.f.t) , para A uniformemente distribuído de [-2 , 2]

a) É um processo estacionário no sentido amplo

                        [pic 2][pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

b) É ergódico na autocorrelação.

SOLUÇÃO:

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

2. O processo , para θ uniformemente distribuído de [0,2π]

a) É um processo estacionário no sentido amplo.

                        [pic 21][pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

 [pic 25][pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

b) É ergódico na autocorrelação

SOLUÇÃO:

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

é estacionário no sentido amplo, com f(a) = 1/10, 0 < t < 10.

1. [pic 43]
2. [pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

logo,

[pic 49]

[pic 50]

Como temos dois possíveis valores para , então não é estacionário no sentido amplo.[pic 51]

4. Considere um processo estocástico X(t) definido por

X(t) = U cost + V sent,         - ∞ < t < ∞

Onde U e V são variáveis aleatórias independentes, e cada assume os valores -2 e 1 com probabilidades 1/3 e 2/3, respectivamente.

Este processo é estacionário no sentido amplo?

SOLUÇÃO:

X(t) = U cost + V sent

E[X(t)] = E[U cost + V sent]         ;         E[X(t)] = E[U] cost + E[V] sent

[pic 52]

[pic 53]

Rx (t1, t2) = E [x(t1) , x(t2)]         →    E [(U cost1 + V sent1). (U cost2 + V sent2)]

Rx (t1, t2)= E [U2 cost2 . cost2 + U.V. cost1 . sent2 + U.V. cost2 + U2 sent1 . sent2]

[pic 54]

[pic 55]

E[U.V] = E[U] . E[V] = 0

Rx (t1, t2) = 2 cost1 . cost2 + 2sent1 . sent2

Rx (t1, t2) = 2cos(t1 – t2)                →        autocorrelação

Sim, o processo é estacionário no sentido amplo.

5. Considere o processo X(t) = cos(ωt + θ)+sen(ωt + θ), onde θ é uma variável aleatória independente, uniformemente distribuída no intervalo [0, 2π].

a) O processo é estacionário no sentido amplo ?[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

Rx (t1, t2) = E [X(t1). X(t2)]

Rx(t1, t2) = E [ (cos(ωt1 + θ)+sen(ωt1 + θ)) . (cos(ωt2 + θ)+sen(ωt2 + θ) ) ]

Rx(t1, t2) = E [ cos(ωt1 – ωt2) + sen(ωt1 + ωt2 + 2θ) ]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

b) Determine a média e a função correlação no tempo x(t) e verifique se é ergódico na média e na função autocorrelação.