Introdução à Processos Estocásticos

Aula 1

Experimento aleatório:

• Consiste em qualquer fenômeno natural cujo resultado não é conhecido de antemão: lançamento de dados, escolha de uma carta do baralho...

Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento aleatório de interesse. Representado por Ohm.

[pic 1]

Eventos são subconjuntos do espaço amostral, geralmente denotados por letras maiúsculas.

[pic 2]

Obs.: Operações em eventos

• Complemento de A: tudo aquilo que não está em A
• União: o que está em A ou B
• Interseção: o que está em A e B

Propriedades da probabilidade:

1. P(Ac) = 1 – P(A)
2. P(VAZIO) = 0
3. Se A c B, P(A) <= P(B)
4. Para eventos A1, A2... (não necessariamente disjuntos) tem-se: P(União A) <= Soma(P(Ai))

Probabilidade Condicional

Utilizamos quando queremos atualizar a probabilidade do nosso evento quando temos alguma informação nova sobre.

Para eventos A,B pertencentes a ômega, com P(B) > 0, definisse a probabilidade de A dado B, representada por P(A|B), como sendo:

P(A|B) = P(A interseção B) / P(B)

[pic 3]

O conceito de probabilidade condicional está relacionado ao conceito de eventos independentes, quando um evento não tem relação com outro. Ex.: A - Ganhar na megassena; B – Dia amanheceu nublado.

De forma geral:

[pic 4]

Variáveis Aleatórias

Variáveis aleatórias são definidos como sendo funções: [pic 5]

Quando a V.A. toma valor em conjunto E finito ou enumerável diremos que a V.A. é discreta. Agora de início vamos utilizar apenas as discretas.

[pic 6]

Muitas vezes queremos calcular probabilidades de eventos envolvendo variáveis aleatórias:

[pic 7]

Trazendo a noção de independência para variáveis aleatórias...

Se duas v.a.s X: ômega 🡪 E e Y: ômega 🡪 F, definidas para o mesmo experimento aleatório são independentes se para quaisquer subconjuntos A c E e B c F, verifica-se:

P(X e A, Ye B) = P(X e A) * P( Y e B).

[pic 8] 

Para independência mutual:

[pic 9]

Aula 2 

Processo Estocástico a Tempo Discreto (PETD)

É uma sequência de v.a.s tomando valor em um conjunto E (espaço de estados).

Ex.:

• O número de máquinas quebradas em uma oficina de uma fábrica no início de cada dia;
• O número de processos ativos em um computador a cada minuto

Nos casos que estamos acompanhando uma determinada variável não podemos assumir que as variáveis são independentes, como no caso abaixo:

[pic 10] 

O Y5 só pode ser 2 se o Y4 for 1, por isso mostra que são dependentes. Logo para chegar na probabilidade fazendo a regra de p(A interseção B) = P(A|B) * P(B):
[pic 11]

Ao calcular essas probabilidades podemos perceber que o Y5 só depende do resultado de Y4, e quando isso acontece identificamos que ele tem a propriedade de Markov.

Cadeias de Markov

Definição: Seja {Xn} um PETD com espaço de estados contável (ou finito).

Se para todo n>= 0  e estados verifica-se:

[pic 12] (Probabilidade do histórico todo ser igual a probabilidade somente do que aconteceu no tempo anterior), então {Xn} é uma cadeia de Markov.

Se além disso, o lado direito da fórmula não depender de “n” (tempo), então diremos que {Xn} é uma Cadeia de Markov Homogênea (CMH).

Desta forma, podemos definir a matrix P dada por:

[pic 13] que é chamada de Matriz de Transição.

Para montar a matriz de transição:

Aqui é como se fosse saindo do 0 para 0 no próximo tempo, e depois saindo de 0 para 1 no próximo tempo:
[pic 14]

E então a matriz fica:

[pic 15]

No final ela vai ter essa cara para este caso:

[pic 16]

Note que as matrizes dew transição terão as seguintes propriedades:

...